Завдання для перевірки знань

1. Знайти ранг матриці методом елементарних перетворень.

а) , б) ,

в)

Відповідь: а) 2; б) 3; в) 2.

2. Знайти обернені до матриць:

а) , б) , в) , г)

результат перевірити множенням.

1.4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь і методи їх розв’язання. Теорема Кронекера1)-Капеллі2)

Системою лінійних рівнянь з невідомими називається система виду

Числа , ; біля невідомих називаються коефіцієнтами основної матриці системи, а числа − її вільними членами. При цьому рядки основної матриці можна переставляти місцями, оскільки це означатиме лише перестановку рівнянь у системі, що, звичайно не вплине на її розв′язок.

Розглянемо ще деякі важливі означення. Упорядкований набір чисел називається розв’язком системи, якщо при підстановці цих чисел замість невідомих усі рівняння системи перетворюються в тотожності. Таку систему чисел називають також - вимірним вектором або точкою -вимірного лінійного простору.

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв’язків. Еквівалентні системи дістають, зокрема, внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають елементарним перетворенням матриці за умови, що вони виконуються лише над рядками матриці.

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих

(1.11)

була сумісною (мала розв’язок), необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці

(1.12)

системи (1.11) і ранг розширеної матриці

(1.13)

системи (1.11) були рівні, тобто .

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але менший числа невідомих, то система має безліч розв’язків.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо має безліч розв’язків.

Система (1.11) називається однорідною, якщо всі її вільні члени ( ) рівні нулю. Якщо ж хоча б одне із чисел ( ), то система буде неоднорідною. Для однорідної системи рівнянь , тому вона завжди сумісна. □

Приклад 10. Дослідити на сумісність систему рівнянь

Розв’язання. Зведемо матрицю і до еквівалентних їм трикутних матриць:

~ ~ . Отже, . ~ ~ і .

Задана система є несумісною.

Матричний метод. Нехай для системи (1.11) і основна матриця виду (1.13) – невироджена, тобто . Тоді для існує єдина обернена матриця , яка визначається формулою (1.10). Введемо в розгляд матриці-стовпці для невідомих і вільних членів:

, . (1.14)

Тоді, згідно з правилом множення матриць, дану систему можна записати в матричній формі: . Припустимо, що матриця має обернену матрицю ; помножимо обидві частини останньої рівності на зліва: . Оскільки і , то . Отже, щоб розв’язати систему рівнянь матричним методом, достатньо знайти матрицю, обернену до матриці системи, і помножити її справа на матрицю з вільних членів.

Приклад 11. Розв’язати систему рівнянь матричним методом:

Розв’язання. Запишемо основну матрицю системи, матрицю невідомих і матрицю вільних членів. Маємо:

Обернена матриця

(див. приклад п. 1.3). Знаходимо:

,

Тобто - розв’язок заданої системи.

Метод Крамера¹⁾. Сумісність системи рівнянь. Геометрична інтерпретація випадків , .

Теорема Крамера. Якщо

,

причому , то

, , , , (1.15)

де одержують з викиданням відповідного стовпчика і заміною його на вектор [18].

Приклад 12. Розв’язати систему рівнянь за формулами Крамера:

.

Розв’язання. Обчислимо

.

Послідовно замінивши в перший, другий і третій стовпці стовпчиком вільних членів, отримаємо:

.

.

Отримані значення визначників підставляємо в формули Крамера (1.15):

; .

Якщо неоднорідна система має , причому не всі , то вона є несумісною. Однорідна система при має лише тривіальний розв’язок . Для існування нетривіальних розв′язків однорідної системи потрібно виконання умови . Приклад 13. Нехай причому . Тоді . З рівнянь . Отже, рівняння співпадають і тоді для кожного існує , що означає безліч розв′язків.

Геометрична інтерпретація. Для випадку : маємо:

, . Якщо , то прямі паралельні й тоді розв’язок відсутній при . Якщо ж , , то рівняння співпадають і розв’язків безліч. Якщо , то прямі непаралельні і тоді розв’язок обов′язково буде і він лише один.

Для у випадку трьох рівнянь маємо три площини у просторі, які можуть бути як паралельними, так і ні (варіанти розв′язків продумайте самостійно).