Метод послідовного виключення Гаусса1).

Метод Гаусса полягає у поступовому виключенні невідомих з переходом до меншої кількості рівнянь. Це можна робити як безпосередньо, так і в матричній формі.

Зауваження 3. При розв’язуванні систем лінійних рівнянь методом Гаусса зручніше виконувати елементарні перетворення не над самою системою, а над її розширеною матрицею, тобто матрицею, утвореною приєднанням до основної матриці системи стовпця вільних членів.

Покажемо на прикладах реалізацію методу Гаусса і дослідимо різні випадки розв’язування систем через зведення розширеної матриці до трикутного або трапецієподібного вигляду.

Приклад 14. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

Розв’язання. Виконуємо елементарні перетворення над рядками розширеної матриці даної системи:

~ ~ .

В останньому рівнянні вільний член дорівнює двом, а коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю, система має суперечливе рівняння, тому система несумісна. До того ж ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, а це за теоремою Кронекера-Капеллі означає, що система несумісна.

Приклад 15. Методом послідовного виключення Жордана-Гаусса з’ясувати, чи буде система сумісною і у випадку сумісності розв’язати її:

Розв’язання. Маємо:

~ ~ ~ .

Останній матриці відповідає система, еквівалентна початковій:

З неї, рухаючись знизу вгору, послідовно знаходимо: , , . Отже, система сумісна, її розв’язок єдиний (ранг матриці дорівнює кількості невідомих і дорівнює 3): , , . Перевіркою легко переконатися в правильності знайденого розв’язку.

Приклад 16. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

Розв’язання. Маємо: ~ ~ .

Цій матриці відповідає наступна система рівнянь:

Отже, невідомих змінних на одну більше, ніж рівнянь, з’являється вільна змінна, наприклад, змінна . Доданки, що містять вільну змінну перенесемо направо з протилежним знаком:

З другого рівняння системи знайшли . Підставивши вираз для в перше рівняння системи, маємо . Система має безліч розв’язків (ранг матриці менше кількості невідомих і дорівнює 2). Отже: , , .

Зауваження 4. За довільну змінну можна було б взяти також або .

Завдання для перевірки знань

1. Розв΄язати за правилом Крамера

а) ; б)

Відповідь: а) , , , ;

б) , , .

2. Розв’язати системи методом оберненої матриці

а) ; б)

Відповідь: а) , , , ;

б) , , , .

3. Розв’язати методом Гаусса

а) ; б )

Відповідь: а) ; ;

б) ; , .

4. Дослідити на сумісність системи рівнянь (розв’язати) за теоремою Кронекера-Капеллі

а) ; б)

Відповідь: а) ; ; б) несумісна.

1.5. Квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду поворотами.

Квадратичною формою від змінних називають однорідний многочлен парних добутків цих змінних з відповідними коефіцієнтами. Це означає, що кожен член квадратичної форми містить або квадрат однієї із змінних, або добуток двох різних змінних (див. далі)[11].

Змінні можна розглядати як аффінні координати деякої точки лінійного простору або як координати радіуса-вектора . Будемо позначати квадратичну форму від змінних через або просто через .

Приклади квадратичних форм: - квадратична форма, задана у просторі n=2.

- квадратична форма у просторі n=3.

Якщо в квадратичній формі подібні доданки вже приведені, то коефіцієнт при позначають через , а коефіцієнт при , де , - через . При цьому записують: , вважаючи . В загальному вигляді квадратичну форму можна записати наступним чином:

= .

Кажуть, що квадратична форма має діагональний вигляд, якщо її доданки містять лише добутки х_ix_j, в яких i=j, тобто квадрати відповідних координат. Квадратичну форму називають позитивно визначеною, якщо . Сукупність коефіцієнтів заданої квадратичної форми, де і=1,2,…,n; j=1,2,…,n, називають її матрицею.

Приклад 17. Вираз для точок поверхні сфери радіусом R=1 має вигляд: . Якщо позначити координати точок сфери відповідно х=х₁; у=х₂; z=х₃, то ліва частина записаного рівняння буде мати вигляд позитивно визначеної квадратичної форми, записаної в канонічному вигляді з коефіцієнтами =1.

Далі ми побачимо, що довільну квадратичну форму можна привести до канонічного вигляду за допомогою відповідних поворотів у площинах х_ix_j. Завдяки цьому, перехресні доданки зникають.

Будь-яку квадратичну форму трьох змінних

(1.16)

за допомогою переходу до нових змінних можна привести до діагонального вигляду. Іншими словами, якщо нові змінні позначити через , то після переходу до них форма (1.16) матиме вигляд

(1.17)

де, зокрема, один або два коефіцієнти можуть перетворитися в нуль (аналогічне твердження виявляється справедливим і для квадратичних форм довільного числа n змінних).

За допомогою матриці коефіцієнтів квадратичної форми

, (1.18)

і матриць X і X*, де

(1.19)

дану квадратичну форму (1.16) можна записати у вигляді добутку матриць:

. (1.20)

Рекомендуємо читачу переконатися самостійно в тому, що добуток трьох матриць в правій частині (1.20) дорівнює матриці першого порядку, єдиний елемент якої дорівнює .

Користуючись записом матричним квадратичної форми (1.20), перейдемо до нових змінних .

Формули переходу від старих координат до нових можна записати в наступному вигляді:

(1.21)

і

(1.21^*)

де X' і ^’* - матриця-стовпець і матриця-рядок в нових змінних, а S - матриця перетворення:

Підставляючи рівність (1.21) і (1.21*) в праву частину (1.20), знаходимо, що після переходу до нових змінних квадратична форма перейде в квадратичну форму , де

. (1.22)

Цю рівність можна записати у вигляді

, (1.23)

де матриця нової квадратичної форми А' пов'язана з матрицею старої форми А і матрицею перетворення змінних S співвідношенням

. (1.24)

Перетворення виду (1.24), при якому деяка матриця А зліва і справа множиться на дві взаємно зворотні матриці, має в матричній алгебрі важливу роль і називається перетворенням подібності.

Отже, при переході від, старих змінних до нових матриці квадратичних форм перетворяться за формулою (1.24).

Залишається знайти таке перетворення, при якому перетворена форма отримає діагональний вигляд (1.17), тобто при якому матриця перетвореної форми виявиться рівною діагональній матриці L, де

. (1.25)

Для відшукання матриці L і матриці S, яка здійснює це перетворення, скористаємося рівністю (1.24), в якій замінимо А' на L:

.

Помножимо цю рівність на матрицю S зліва; знайдемо (внаслідок того, що SS^-1=E, a EAS=AS)

. (1.26)

Це матричне рівняння дозволяє знайти як матрицю перетворення S, так і нову матрицю квадратичної форми L. Покажемо, як це можна зробити. Для цього виконаємо в лівій і в правій частинах рівняння (1.26) множення матриць. Знайдемо:

(1.27)

Але рівність матриць означає рівність всіх їх відповідних елементів. Тому, прирівнявши відповідні елементи перших стовпців матриць, приходимо до наступної системи рівнянь:

(1.28)

Решту шість рівнянь, які містять елементи 2-го стовпця матриці S і , а також елементи 3-го стовпця матриці S і , матимемо, якщо прирівняємо один одному елементи 2-го і 3-го стовпців в лівій і правій частинах матричного рівняння (1.27).

Систему (1.28) можна переписати у вигляді

(1.29)

Але система (1.29) - це однорідна система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими , яка має ненульові розв’язки тоді і тільки тоді, коли дорівнює нулю визначник цієї системи:

(1.30)

Аналогічні системи рівнянь для знаходження елементів другого і третього стовпчиків матриці S зведуться до вигляду:

(1.31)

(1.32)

Умови існування ненульових розв’язків для системи (1.31) і (1.32) співпадають з умовою (1.30), якщо в останньому замінити на чи .

Звідси неважко прийти до висновку, що тобто шукані елементи матриці L перетвореної квадратичної форми є коренями одного і того ж рівняння відносно , яке ми одержимо прирівнюючи до нуля наступний визначник:

(1.33)

Обчислюючи цей визначник і прирівнюючи його до нуля, знайдемо рівняння 3-го степеня відносно , корені якого і слід прийняти за . Рівняння (1.33) називається характеристичним рівнянням матриці А, а визначник в його лівій частині - характеристичним її визначником. Можна довести, що якщо матриця А дійсна і симетрична, то її характеристичне рівняння завжди має лише дійсні корені. Якщо ж ця умова не виконана, то можуть з’являтися і комплексні корені (один дійсний і два комплексно спряжені).

Знайшовши можемо визначити всі елементи ортогональної матриці перетворення S і тим самим довести до кінця розв’язок задачі про перетворення заданої нам квадратичної форми до суми квадратів, тобто до вигляду (1.17). Таким чином, будь-яку квадратичну форму вигляду (1.16) з симетричною матрицею А за допомогою ортогонального перетворення змінних можна привести до канонічного вигляду

. (1.34)

Задачі відшукання матриці перетворення S можна надати іншу, геометрично більш наочну, форму. Для цього повернемося до системи рівнянь (1.28), яка визначає елементи першого стовпця матриці S, тобто a₁₁, а₂₁, а₃₁. Якщо врахувати, що a₁₁, а₂₁, а₃₁ є координатами нового орта е^’₁ в старій системі координат (направляючі косинуси), то систему рівнянь (1.28) можна, використовуючи поняття про лінійне перетворення векторів, записати в такому стислому вигляді:

де A – початкова матриця квадратичної форми.

Аналогічно дві інші системи рівнянь, з яких визначаються елементи 2-го і 3-го стовпців матриці S, можна записати так:

Таким чином, знаходження матриці перетворення S є рівносильним знаходженню ортів нової системи координат і зводиться геометрично до відшукання таких трьох одиничних, взаємно перпендикулярних векторів, які задовольняють матричне рівняння

.

Іншими словами, ці вектори за допомогою матриці А перетворюються в колінеарні їм вектори.

Вектори, які за допомогою даної матриці А перетворяться в колінеарні їм, називаються власними векторами матриці, а коефіцієнти пропорційності (корені характеристичного рівняння матриці) - характеристичними числами або власними значеннями матриці.

Таким чином, задача приведення квадратичної форми до канонічного вигляду геометрично рівносильна відшуканню трьох взаємно ортогональних одиничних власних векторів матриці форми А та її власних значень.