2.4 Дифференциальные зависимости при изгибе. Некоторые особенности эпюр q и м

Установим некоторые характерные особенности эпюр Q и М, знания которых облегчит построение эпюр и даст возможность в известной степени контролировать их правильность.

Рассмотрим какую-нибудь балку с произвольной нагрузкой (рисунок 2.9). распределенную нагрузку условимся считать положительной, если она направлена вверх (такая нагрузка дает положительную составляющую для изгибающего момента в любом сечении).

Рисунок 2.9 – Произвольная балка

Выделим на участке, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент балки О₁О₂. Он находится в равновесии под действием внешней нагрузки, поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях О₁ и О₂ (рисунок 2.10). Поскольку в общем случае Q и М меняются вдоль оси балки, то в сечении О₁ имеем Q(z) и М (z), а в сечении О₂ имеем Q(z) + dQ и M(z) + dM. Для вывода, как всегда, изображаем их положительно направленными. Из условия равновесия выделенного элемента получим:

Рисунок 2.10 – Элемент

Первое уравнение дает условие:

(1)

Из второго уравнения, пренебрегая членом , найдем:

(2)

Из формул (1) и (2) следует, что:

(3)

Соотношение (1) – (3) называют дифференциальными зависимостями при изгибе. Эти зависимости и анализ примеров предыдущего параграфа позволяют установить некоторые особенности эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

1. На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры Q, ограниченной прямыми, параллельными базе, а эпюры М в общем случае – наклонными прямыми (рисунок 2.11).

Рисунок 2.11 - Пример

2. На участках где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадратичными параболами. Поскольку эпюру М строим на сжатых волокнах, то выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную направлению действия нагрузки q.

3. В сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна к базе эпюры.

4. На участках, где Q > 0, момент М возрастает, т.е. слева направо положительные ординаты эпюры М увеличиваются, а отрицательные – уменьшаются; на участках, где Q < 0, момент М убывает.

5. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил;

б) на эпюре М будут переломы, причем острие перелома направлено против действия силы.

6. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре М будут скачки на величину этих моментов (на эпюре Q изменений не будет). Направление скачка зависит от направления внешнего момента.

Глава 3 Геометрические характеристики сечений.

Сопротивление стержня различным видам деформации часто зависит не только от его материала и размеров но и от очертаний оси, формы поперечных сечений и их расположения. Поэтому в настоящей лекции, отвлекаясь от физических свойств изучаемого объекта, рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений, определяющие сопротивление различным вида деформаций. К ним относятся площади поперечных сечений, статические моменты и моменты инерции.

Площадь сечения – это взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок dF.

Рисунок 3.1 – Определение площади

(1)