3. Определение моментов инерции для параллельных осей.

Рассмотрим произвольное сечение. Введем центральную систему координат ХУ. Выделим элементарную площадку dF с координатами ху покажем новую систему координат Х₁У₁ параллельно ху на расстоянии а и b между осями.

Рисунок 3.6 – Произвольное сечение

По аналогии с формулами (9) и (10) можно записать:

Тогда подставив (12) получим:

S_x = 0, т.к. ось х – центральная.

Значение можно получить аналогично:

(13)

(13) – Формулы Гюйгенса

Следовательно:

1) момент инерции фигуры относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между этими осями;

2) центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в ее новых осях.

Отметим, что координаты а и b, входящие в формулы (13), следует подставлять с учетом их знака.

Формулы (13) показывают, что из всех моментов инерции относительно ряда параллельных осей центральные моменты инерции будут наименьшими.

Продолжим рассмотрение примера пункта 3.1, 3.2:

Рассмотрим пример определения для сечения, у которого оси х и у центральные для обеих фигур, составляющих его.

Рисунок 3.7 - Пример

4. Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей.

Пусть известны моменты инерции произвольной фигуры (рисунок 3.8) относительно координатных осей х и у:

Рисунок 3.8 – Поворот осей

Повернем оси х, у на угол альфа против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Найдем теперь моменты инерции сечения относительно повернутых осей по аналогии с (14)

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях выражаются через координаты х, у прежней системы осей следующим образом:

(16)

Подставим эти значения в выражения (16) и проинтегрируем почленно:

(17)

Учитывая формулы (14) окончательно находим:

(18)

(19)

Отметим, что формулы (18) и (19) получены при повороте любой системы прямоугольных осей, естественно, справедливы и для центральных осей.

Складывая полученные формулы (18) находим:

Т.о. при повороте прямоугольных осей сумма моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

При повороте осей на угол альфа равный 90°:

5. Определение направления главных осей. Главные моменты инерции.

Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен 0. Будем обозначать такие оси буквами u, v. Следовательно,

Чтобы определить положение главных центральных осей не симметричной фигуры повернем произвольную начальную систему центральных осей х, у (рисунок 2.9) на некоторый угол α₀, при котором центробежный момент инерции становится равным нулю:

Тогда из формулы (19):

(21)

Откуда:

(22)

Полученные из формулы (22) два значения угла α₀ отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как легко видеть, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает . В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом.

Рисунок 3.9 – Главные оси

Проведенную под этим углом (положительным или отрицательным) главную ось будем обозначать буквой u. Напомним, что отрицательные углы α₀ откладываются от оси х по ходу часовой стрелки.

Главные моменты инерции определяются:

(23)

(24)

Важно отметить, что главные моменты инерции обладают свойством экстремальности. В этом легко убедиться, продифференцировав выражение для момента инерции относительно произвольной оси (см. формулы (18)) по переменной α:

Отсюда следует, что производная обращается в нуль, когда а это значит, что экстремальное значения имеют моменты инерции относительно главных осей.

Учитывая, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей – величина постоянная, можно заключить, что относительно одной из главных осей момент инерции имеет максимальное значение, а относительно другой – минимальное.

3.6 Пример решения экзаменационной задачи.

Для заданной балки построить эпюры Q и M. Подобрать размер а заданного сечения при известных [σ], q, l

Рисунок 3.10 - Пример

1. Определим неизвестные опорные реакции.

Проверка:

2. Проведем сечения на каждом участке заданной балки.

3. Запишем уравнение и построим эпюру Q

4. Запишем уравнение и построим эпюру M:

5. Запишем условия прочности при изгибе

M_max – наибольший изгибающий момент по абсолютной величине, берется из эпюры M, в нашем случае M_max = 0,5ql²

- момент сопротивления сечения

- допустимое напряжение, наибольшее безопасное напряжение для данного материала.