2. Эпюр 2

Эпюр 2 состоит из двух задач. Задачи данного эпюра решаются с применением методов преобразования чертежа – плоскопараллельного перемещения (первая задача) и перемены плоскостей проекций (вторая задача).

Решение многих задач способами начертательной геометрии, в конечном счете, сводится к определению позиционных и метрических характеристик геометрических фигур. В связи с этим все многообразие задач может быть отнесено к двум группам:

1. задачи позиционные – решение которых должно дать ответ на вопрос о взаимном расположении геометрических фигур как по отношению друг к другу, так и относительно системы координатных плоскостей проекций;

2. задачи метрические – при решении задач этой группы появляется возможность ответить на вопросы, касающиеся как внутренней метрики заданных геометрических фигур (определение расстояний между различными точками фигуры и нахождение величин углов между линиями и поверхностями, принадлежащими этой фигуре), так и определения расстояний между точками и величин углов.

Проецируемая фигура может занимать по отношению к плоскости проекции различное положение. Решение задачи значительно упрощается в случае частного положения геометрической фигуры относительно плоскости проекции. При этом наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры следует считать:

• положение, перпендикулярное к плоскости проекции для решения позиционных задач;

• положение, параллельное по отношению к плоскости проекции при решении метрических задач.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это достигается двумя путями:

1. перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве;

2. перемещением плоскостей проекций в новое положение, по отношению к которому проецируемая фигура (которая не меняет своего положения в пространстве) окажется в частном положении.

Первый путь лежит в основе метода плоскопараллельного перемещения; второй составляет теоретическую базу метода перемены плоскостей проекций.

0. Задача 1 эпюра 2

Для плоскопараллельного перемещения справедливо утверждение, которое выражено в виде теоремы:

при параллельном перемещении геометрической фигуры относительно плоскости проекции, проекция фигуры на эту плоскость хотя и меняет свое положение, но остается конгруентной проекции фигуры в ее исходном положении.

Отметим еще свойства плоскопараллельного перемещения:

• при всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекции Н, ее фронтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси х;

• при всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекции V, ее горизонтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси х.

Пользуясь теоремой и отмеченными свойствами, не составляет труда построить новые проекции геометрической фигуры по заданным ее ортогональным проекциям, которые занимают частное положение по отношению к плоскости проекции.

Проследим на конкретных примерах использование способа плоскопараллельного перемещения для перевода произвольно расположенной геометрической фигуры в частное положение.

Задача 1(а). Отрезок АВ прямой общего положения а перевести в положение перпендикулярное фронтальной плоскости проекции (рис. 27).

Для перевода отрезка общего положения в положение, параллельное плоскости проекции (линии уровня) необходимо выполнить только одно перемещение. Для перевода отрезка из общего положения в проецирующее положение, необходимо последовательно выполнить два перемещения: вначале перевести его в положение параллельное плоскости Н (или V), затем переводят отрезок в положение перпендикулярное V (или Н).

Отрезок общего положения АВ необходимо перевести в положение параллельное горизонтальной плоскости проекции. Фронтальная проекция должна быть параллельна оси х. Поэтому переводим проекцию в новое положение А₁''В₁''. Перемещение отрезка в новое положение осуществляем так, чтобы любые его точки двигались в плоскостях, параллельных плоскости V. При таком перемещении новая фронтальная проекция конгруентна исходной проекции А₁''В₁'' = А''B''. Горизонтальные проекции точек отрезка А'В' будут перемещаться в новое положение по прямым, параллельным оси х. Построения выполнены в следующей последовательности:

1. через произвольную точку А₁'' проводим прямую а₁'' параллельную оси х;

2. откладываем на ней от точки А₁'' отрезок А₁''В₁'' = А''B'';

3. из точек А₁'' и В₁'' проводим линии связи и находим точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными соответственно через точки А' и В'.

Полученные точки А₁' и В₁' являются концами горизонтальной проекции отрезка А₁В₁, параллельного плоскости Н.

Далее отрезок, расположенный параллельно плоскости Н (горизонталь) необходимо перевести в положение перпендикулярное фронтальной плоскости проекции. Горизонтальная проекция должна быть перпендикулярна оси х. Поэтому переводим проекцию в новое положение А₂'В₂'. Перемещение отрезка в новое положение осуществляем так, чтобы любые его точки двигались в плоскостях, параллельных плоскости Н. При таком перемещении новая горизонтальная проекция конгруентна исходной проекции А₂'В₂' = А₁'B₁'. Фронтальные проекции точек отрезка А₁''В₁'' будут перемещаться в новое положение по прямым, параллельным оси х. Построения выполнены в следующей последовательности:

1. через произвольную точку В₂' проводим прямую а₂'' перпендикулярную оси х;

2. откладываем на ней от точки В₂' отрезок А₂'В₂' = А₁'B₁';

3. из точек А₂' и В₂' проводим линии связи и находим точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными соответственно через точки А₁'' и В₁''.

Рис. 27

Задача 1(б). Треугольник АВС, определяющий плоскость общего положения перевести в положение параллельное горизонтальной плоскости проекции (рис. 28).

Для перевода плоскости общего положения в положение, перпендикулярное плоскости проекции (проецирующее) необходимо выполнить только одно перемещение. Для перевода плоскости из общего положения в положение, параллельное плоскости проекции необходимо последовательно выполнить два перемещения: вначале перевести ее в положение перпендикулярное плоскости Н (или V), затем переводят плоскость в положение параллельное V (или Н).

Если плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции, то фронталь (линия уровня) этой плоскости расположена тоже перпендикулярно горизонтальной плоскости проекции.

Если плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости, то горизонталь (линия уровня) этой плоскости расположена тоже перпендикулярно фронтальной плоскости проекции.

Зная характер геометрических построений, которые необходимо выполнить для перемещения отрезка из линии уровня в проецирующее положение, можно легко перевести плоскость, произвольно расположенную в пространстве в положение перпендикулярное плоскости проекции. Построения выполнены в следующей последовательности:

1. через точку А проводим горизонталь h в плоскости треугольника АВС;

2. через произвольную точку А₁' проводим прямую h₁' перпендикулярную оси х;

3. откладываем на ней от точки А₁' отрезок А₁'D₁' = А'D';

4. с помощью циркуля строим треугольник А₁'В₁'С₁' = А'В'С';

5. из точек А₁' и В₁''и С₁' проводим линии связи и находим точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными соответственно через точки А'', В'' и С''.

Полученные точки А₁'', В₁'' и С₁'' являются фронтальной проекцией плоскости А₁В₁С₁, перпендикулярной плоскости V.

Далее плоскость, расположенную перпендикулярно плоскости V необходимо перевести в положение параллельное горизонтальной плоскости проекции. Фронтальная проекция должна быть параллельна оси х. Поэтому переводим проекцию в новое положение А₂''В₂''С₂''. Перемещение плоскости в новое положение осуществляем так, чтобы любые ее точки двигались в плоскостях, параллельных плоскости V. При таком перемещении новая фронтальная проекция конгруентна исходной проекции А₂''В₂''С₂''=А''В''С''. Горизонтальные проекции точек плоскости А₁'В₁'С₁' будут перемещаться в новое положение по прямым, параллельным оси х. Построения выполнены в следующей последовательности:

1. через произвольную точку В₂'' проводим прямую параллельную оси х;

2. откладываем на ней от точки В₂'' проекцию плоскости в виде отрезка А₂''В₂''С₂'' = А₁''В₁''С₁'';

3. из точек А₂'', В₂'' и С₂'' проводим линии связи и находим точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными соответственно через точки А₁', В₁' и С₁'.

Рис. 28