0. Задача 2 эпюра 2

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций достигается путем замены системы плоскостей H и V. В дальнейшем такую систему будем обозначать , новыми плоскостями Н₁ и V₁ и такие системы будем обозначать или .Новые плоскости проекции выбираются перпендикулярно к старым. Проецируемые геометрические фигуры при этом не меняют своего положения в пространстве.

При выборе положения новой плоскости проекции следует руководствоваться тем, чтобы по отношению к новой плоскости проецируемая фигура занимала частное положение, обеспечивающее получение проекций наиболее удобных для решения поставленной задачи.

В некоторых случаях бывает достаточно заменить только одну плоскость проекции H на H₁ или V на V₁. Иногда замена только одной плоскости проекции не обеспечивает получения требуемого вида вспомогательной проекции, поэтому приходится переходить к замене двух плоскостей. При этом переход от исходной системы плоскостей проекций к новой может быть осуществлен по одной из следующих схем:

→ → или → → .

Приведенные схемы показывают, что одновременно можно поменять только одну плоскость проекции, другая плоскость остается неизменной.

Рассмотрим замену одной и двух плоскостей проекций на примере точки. Пусть в системе задана точка А проекциями А' и А''. Заменим плоскость V новой плоскостью V₁ (плоскость V₁ принимается перпендикулярной к плоскости H). Горизонтальная плоскость проекции не меняет своего положения, т.е. осуществляется переход от системы к новой системе . Новая плоскость V₁ пересекается с плоскостью H по оси х₁. Положение горизонтальной проекции А' точки А остается без изменения, так как точка А и плоскость Н не меняли своего положения в пространстве (рис. 29, а).

а	б
Рис. 29

Для нахождения фронтальной проекции А'' достаточно ортогонально спроецировать точку А на новую плоскость V₁.Расстояние новой фронтальной проекции А₁'' от новой оси х₁ равно расстоянию от старой фронтальной проекции А'' до старой оси х (│А₁'' А_х1│ = │А'' А_х│). Равенство аппликат у новой А₁'' и старой А'' фронтальной проекции точки А и использование в обоих случаях прямоугольного проецирования делают построение новой фронтальной проекции чрезвычайно простым. Оно состоит в том, что через старую горизонтальную проекцию точки проводят прямую, перпендикулярную к новой оси, и откладывают на ней, от точки пересечения с осью, отрезок, равный расстоянию старой фронтальной проекции от старой оси (рис. 29, б).

Часто при определении натуральной величины какой-либо геометрической фигуры замены одной плоскости проекции бывает недостаточно. В таких случаях приходится осуществлять замену двух плоскостей проекций.

Рассмотрим, как определяются новые ортогональные проекции точки в новой системе плоскостей проекций , если известны ее проекции в старой системе плоскостей .

Пусть А' и А'' – проекции точки А на исходных плоскостях проекций (рис. 30). Для того чтобы определить положение новых проекций А₁' и А₁'' в системе заменяем вначале плоскость Н новой плоскостью Н₁.

Рис. 30

Новая горизонтальная проекция А₁' будет принадлежать одной линии связи, проходящей через старую фронтальную проекцию А'' и перпендикулярную к новой оси х₁, и будет удалена от новой оси на такое же расстояние, на какое старая горизонтальная проекция точки была удалена от старой оси х. Поэтому для определения положения проекции А₁' достаточно от точки А_х1 на линии связи отложить отрезок [А_х1А₁'], равный отрезку [А_хА']. Положение новой фронтальной проекции точки на плоскости V₁ в системе определяется аналогично только что рассмотренному случаю. Отличие будет состоять лишь в том, что теперь за исходную (старую) систему будем принимать систему и от нее переходить к системе . В этом случае плоскость Н₁ не меняет своего положения в пространстве, следовательно, не изменится положение и горизонтальной проекции А₁'. Фронтальная проекция А₁'' будет определена, если из А₁' провести линию связи перпендикулярно оси х₂ и отложить на нем от точки А_х2 отрезок [А_х2 А₁''], равный расстоянию от точки А'' до оси х₁ – отрезку [А_х1 А''].

Зная правила построения новой проекции одной точки, можно построить новые проекции любого числа точек, следовательно, и любой геометрической фигуры.

Рассмотрим на конкретных примерах использование способа перемены плоскостей проекции для перевода произвольно расположенных геометрических фигур в частное положение.

Задача 2(а). Отрезок АВ прямой общего положения а перевести в положение перпендикулярное горизонтальной плоскости проекции.

Для перевода отрезка общего положения в положение, параллельное плоскости проекции (линии уровня) необходимо выполнить замену только одной плоскости проекции. Для перевода отрезка из общего положения в проецирующее положение, необходимо последовательно выполнить две замены: вначале перевести его в положение параллельное плоскости V (или Н), затем переводят отрезок в положение перпендикулярное Н (или V).

Построения выполнены в следующей последовательности (рис. 31):

1. проводим новую ось х₁ таким образом, чтобы в новой системе плоскостей проекции отрезок АВ стал фронталью, т.е. х₁ должна быть расположена параллельно А'В';

2. строим новые фронтальные проекции А₁'' и В₁'' откладывая на новых линиях связи отрезки А₁''А_х1 = А''А_х и В₁''В_х1 = В''В_х;

3. проводим новую ось х₂ таким образом, чтобы в новой системе плоскостей проекции отрезок АВ стал горизонтально проецирующим, т.е. х₂ должна быть расположена перпендикулярно А₁''В₁'';

4. строим новые горизонтальные проекции А₁' и В₁' откладывая на новой линии связи отрезок А₁'А_х2 = А'А_х1 который совпадает с отрезком В₁'В_х2 = В'В_х1.

Рис. 31

Задача 2(б). Треугольник АВС, определяющий плоскость общего положения перевести в положение параллельное фронтальной плоскости проекции (рис. 32).

Для перевода плоскости общего положения в положение, перпендикулярное плоскости проекции (проецирующее) необходимо выполнить только одну замену плоскостей проекции. Для перевода плоскости из общего положения в положение, параллельное плоскости проекции необходимо последовательно выполнить две замены: вначале перевести ее в положение перпендикулярное плоскости Н (или V), затем переводят плоскость в положение параллельное V (или Н).

Если плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции, то фронталь (линия уровня) этой плоскости расположена тоже перпендикулярно горизонтальной плоскости.

Если плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости, то горизонталь (линия уровня) этой плоскости расположена тоже перпендикулярно фронтальной плоскости.

Построения выполнены в следующей последовательности (рис. 32):

1. проводим новую ось х₁ таким образом, чтобы в новой системе плоскостей проекции треугольник АВС стал горизонтально проецирующим, т.е. х₁ должна быть расположена перпендикулярно f';

2. строим новые горизонтальные проекции А₁', В₁' и С₁' откладывая на новых линиях связи отрезки А₁'А_х1=А'А_х, В₁'В_х1=В'В_х и С₁'С_х1=С'С_х;

3. проводим новую ось х₂ таким образом, чтобы в новой системе плоскостей проекции треугольник АВС стал фронтальной плоскостью уровня, т.е. х₂ должна быть расположена параллельно А₁'В₁'С₁';

4. строим новые фронтальные проекции А₁'', В₁'' и С₁''откладывая на новых линиях связи отрезки А₁''А_х2=А''А_х1, В₁''В_х2=В''В_х1 и С₁''С_х2=С''С_х1.

Рис. 32

Примечание: при решении задачи эпюра 2 методом перемены плоскостей проекции точки на осях проекций А_х, А_х1, А_х2 и др. можно не обозначать (см. пример в приложении). В методических указаниях эти точки обозначены для удобства описания алгоритма решения задачи.