0. Многогранники

Многогранником называют пространственную фигуру, ограниченную замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имеющих форму многоугольников (в частном случае треугольников). Вершины многоугольников являются вершинами многогранника, стороны многоугольников образуют ребра, а плоскости многоугольников – грани многогранника.

Сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник, вершины которого принадлежат ребрам, а стороны – граням многогранника.

0. Призма

Призма – многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Элементы призмы:

• основания – две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях;

• боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань является параллелограммом (прямоугольником);

• боковые ребра – общие стороны боковых граней (параллельны между собой);

• высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им.

Если боковые ребра перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Если боковые ребра расположены под произвольным углом к основанию, то призма называется наклонной.

Если в основании призмы лежит правильные многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания, то призма называется правильной.

В сечении призмы плоскостью (рис. 33, а) получается многоугольник (рис. 33, б).

а	б
Рис. 33

Рассмотрим построение точек на поверхности призмы, если известны их фронтальные проекции (рис. 34, а). Построения понятны из чертежа (рис. 34, б).

а	б
Рис. 34

Задача 1. Построить три проекции призмы с вырезом фронтально проецирующими плоскостями (рис. 35, а).

Решение задачи начинаем с определения вершин многоугольников, которые получаются в сечениях.

В сечениях заданной призмы проецирующими плоскостями получаются два многоугольника, которые определяются вершинами – 1, 2, 5, 4, 3 и 3, 4, 6, 7 (рис. 35, б).

Вершины 5 и 6 получаются при пересечении ребра В с проецирующими плоскостями сечения, вершина 7 – ребра С, отрезок 1, 2 – при пересечении проецирующей плоскости и верхнего основания призмы, отрезок 3, 4 – при пересечении проецирующих плоскостей между собой.

а	б
Рис. 35

На горизонтальной проекции призмы можно не отмечать видимость точек, т.к. почти все они закрыты верхним основанием.

0. Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Элементы пирамиды:

• основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды;

• боковые грани – треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

• боковые ребра – общие стороны боковых граней;

• вершина пирамиды – точка, соединяющая боковые ребра и не лежащая в плоскости основания;

• высота – отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром описанной окружности около основания, то пирамида называется правильной.

В сечении пирамиды плоскостью (рис. 36, а) получается многоугольник (рис. 36, б).

а	б
Рис. 36

Рассмотрим построение точек на поверхности пирамиды, если известны их фронтальные проекции (рис. 37, а). Построения понятны из чертежа (рис. 37, б).

а	б
Рис. 37

Задача 2. Построить три проекции пирамиды с вырезом фронтально проецирующими плоскостями (рис. 38, а).

Решение задачи начинаем с определения вершин многоугольников, которые получаются в сечениях.

В сечениях заданной пирамиды проецирующими плоскостями получаются три многоугольника, которые определяются вершинами – 1, 2, 3₁, 3; 3, 3₁ , 4, 5₁, 5; 5, 5₁, 6 (рис. 38, б).

Вершины 1 и 6 получаются при пересечении ребра SА с проецирующими плоскостями сечения, вершины 2 и 4 – ребром SB, отрезок 3,3₁ и 5,5₁ – при пересечении проецирующих плоскостей между собой.

а	б
Рис. 38