Особые случаи к теоремам о пределе суммы, произведения, частного

Материал будет рассмотрен на практическом занятии №6.

Последовательность ,

1.Дана последовательность . Требуется доказать, что .

2.Согласно лемме, если последовательность имеет предел , то её общий элемент может быть представлен в виде , т.е. в данном случае

.

Если удастся доказать, что – бесконечно малая последовательность, то докажем, что 1 – предел последовательности .

3.Очевидно, что при .

4.Возведем обе части равенства в степень: .

5.В соответствии с формулой бинома Ньютона:

.

6.Все слагаемые, стоящие справа, неотрицательны. Если отбросить все слагаемые, кроме 1^ого и 3^ого, то равенство превратится в неравенство

, .

7.Так как , то или _.

8.Разделим обе части неравенства на положительное число :

или или .

9.Но , тогда .

10. т.е. при . Следовательно, при по теореме о сжатой переменной, т.е. или – бесконечно малая последовательность. Значит, , так как выполняется равенство .

Ч.т.д.

Последовательность

1.Пусть дана последовательность . Требуется доказать, что при .

2.Для , начиная с некоторого номера будет выполняться неравенство , причем – для случая .

3.Извлечем корень n^ой степени из всех положительных частей неравенства

.

4.Известно, что при . Поэтому _.

5.В соответствии с теоремой о сжатой переменной при для , т.е. .

Ч.т.д.

Понятие точных граней у последовательностей

Определение №1: Верхняя грань множества значений элементов последовательности называется верхней гранью данной последовательности и обозначается или .

Если верхняя грань является числом, то определение №1 можно сформулировать следующим образом:

Определение №2: Число является верхней гранью последовательности , , если

а) для выполняется неравенство ;

б) для , .

Определение №3: Нижняя грань множества значений элементов последовательности называется нижней гранью данной последовательности и

обозначается или .

Если нижняя грань является конечным числом, то определение можно сформулировать следующим образом:

Определение №4: Число является нижней гранью последовательности ,если

а) выполняется неравенство ;

б) если , .

Примеры: 1. при ; при .

2. при ; при .

1 модуль

Тема №2

Предел последовательности

Лекция №7

1. Монотонные последовательности.

2. Теорема Вейерштрасса.

3. Принцип вложенных (стягивающихся) отрезков (принцип Коши - Кантора).

4. Замечание о вложенных и только стягивающихся отрезках.

5. Представление действительного числа бесконечной десятичной дробью.

Монотонные последовательности

Определение №1. Последовательность называется возрастающей, если каждый её элемент, начиная со второго, больше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .

Определение №2. Последовательность называется убывающей, если каждый её элемент, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .

Определение №3. Последовательность называется невозрастающей, если каждый её элемент, начиная со второго, не больше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .

Определение№4. Последовательность называется неубывающей, если каждый её элемент, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .

Определение №5. Убывающие, возрастающие, неубывающие, невозрастающие последовательности называются монотонными. А возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Примеры: а) :1; ; ;…; ;… – убывающая, ограниченная ( , ).

б) 1; 1; ; ; ; ;…; ; ;… – невозрастающая, ограниченная ( , ).

в) 1; 2; 3;…; n;… – возрастающая, ограниченная снизу и неограниченная сверху ( , ).

г) 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4;…; n; n;… – неубывающая, ограниченная снизу и неограниченная сверху ( , ).

д) : 1; 0; -1; 0; 1; 0; -1;… – ограниченная ( , ), не является монотонной.

Замечание:1.Монотонные последовательности ограниченны, по крайней мере, с одной стороны

а)неубывающие – ограничены снизу, так как и , ;

б)невозрастающие – ограничены сверху, так как , , .

2.Если монотонные последовательности ограниченны с обеих сторон, т.е. просто ограничены, то они сходятся.

3.Немонотонные последовательности этим свойством не обладают.

Пример: – ограничена, не является монотонной и не имеет предела.