13.Поэтому можно записать или .

14.Но это сумма убывающей геометрической прогрессии с ; . Следовательно, .

15.Тогда или при .

16.Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху 3.

А всякая последовательность, возрастающая и ограниченная сверху (по теореме Вейерштрасса) имеет конечный предел. Как оказалось

_.

Ч.т.д.

2 модуль

Тема №3

Функции и их свойства. Операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Предел функции

Лекция №9

1. Понятие функции.

2. Операции над функциями.

3. Ограниченные сверху, снизу и ограниченные функции.

4. Наибольшее, наименьшее, максимальные, минимальные и экстремальные значения функции.

5. График функции.

6. Способы задания функции. Композиция функций.

7. Классификация функций.

8. Четные, нечетные функции и их свойства.

9. Периодические функции.

Понятие функции

Определение. Пусть и – некоторые числовые множества. Функцией называется множество упорядоченных пар чисел таких, что , , а каждое входит в одну и только в одну пару такого множества , а каждое y входит, по крайней мере, в одну пару этого множества .

При этом говорят, что числу поставлено в соответствие число и пишут: . Число называется значением функции в точке . Переменную называют зависимой переменной, а переменную называют независимой переменной или аргументом.

Множество называют областью определения (или существования) функции , а множество – множеством значения функции .

Замечание. 1. Кроме буквы для обозначения функции используют и другие буквы: ; ; ; .

2. Другими буквами может быть обозначена и зависимая, и независимая переменные.

3. Наряду с термином «функция» употребляют равнозначные термин «отображение». Говорят, что отображение отображает число в число или что число является образом числа при отображении .

Операции над функциями

Определение №1. Функции, принимающие числовые значения называются числовыми функциями.

Над числовыми функциями можно выполнять различные арифметические операции: если даны две числовые функции и , определенные на одном и том же числовом множестве , то

1. Функция определяется как функция, принимающая в каждой точке значение , где .

2. Функция определяется как функция, принимающая в каждой точке значение .

3. Функция определяется как функция, принимающая в каждой точке значение .

4. Функция определяется как функция, принимающая в каждой точке значение при .

Определение №2. Функция, все значения которой равны между собой называется постоянной и обозначают .

Ограниченные сверху, снизу и ограниченные функции

Определение №1. Функция , определенная на некотором множестве , называется ограниченной сверху на этом множестве, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство: .

Определение №2. Функция , определенная на некотором множестве , называется ограниченной снизу на этом множестве, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство .

Определение №3. Функция , ограниченная сверху и снизу на множестве , называется ограниченной на этом множестве.

Очевидно, что функция ограничена на множестве тогда, когда существует такое число , что для любого выполняется неравенство или .