Представление действительного числа бесконечной десятичной дробью

Лемма: Каково бы ни было действительное число , последовательность монотонно убывает, последовательность монотонно возрастает, и .

Доказательство: 1.Пусть задано некоторое действительное число . Для определенности, пусть .

2.В силу аксиомы Архимеда: «Каково бы ни было число, существует такое натуральное число , что, : ( )( ): ».

3.Среди натуральных чисел возьмем такое , наименьшее из них и обладающее свойством . Обозначим его , т.е. .

4.Так как , то . Значит, можно написать .

Покажем на рисунке.

5.Обозначим отрезок и разобьем его на 10 равных частей.

6.Рассмотрим последовательность отрезков , где .

1^ый отрезок будет = , когда .

2^ой отрезок будет = , когда .

………………………………………………………

10^ый отрезок будет = , когда .

7.Для точки возможны два случая:

а) либо точка не совпадает ни с одной точкой деления;

б) либо точка совпадает с одной из точек деления

или

8.В случае а) точка принадлежит только одному отрезку. Обозначим его ; : , где .

9.В другом случае точка принадлежит сразу двум отрезкам. Тогда через обозначим из них тот, для которого точка не является правым концом, .

10.Разобьем отрезок в свою очередь на десять равных частей, на 10 равных отрезков.

11.Обозначим через тот из них, который содержит точку , и для которого точка не является правым концом .

12.Продолжая этот процесс разбиения на отрезок, получим последовательность вложенных отрезков: , где , ( , ).

13.Каждый из отрезков содержит точку , причем точка не является его правым концом , .

14.Длина n^ого отрезка при .

Определение №1: Конечные десятичные дроби , называются десятичными дробями, приближающими число .

Определение №2: Число называется нижним десятичным приближением порядка числа , а число называется верхним десятичным приближением порядка числа .

15.Сформулируем свойства нижнего и верхнего десятичных приближений порядка n^ого числа :

а) последовательность отрезков , образуют последовательность вложенных отрезков или ;

б) длина n^ого отрезка к 0 при и ;

в) точка принадлежит всем этим отрезкам , , т.е.

, и при .

г) левые концы отрезков образуют возрастающую последовательность;

д) правых концы отрезков образуют убывающую последовательность .

Следовательно, получаем стягивающую последовательность вложенных отрезков , .

16.Согласно замечанию №1 к теореме (принципу) Коши-Кантора точка является пределом для последовательностей и , т.е.

.

17.Таким образом, лемма доказана.

Замечание: Если отрицательно, т.е., , то нужно принять и выполнить подобные исследования.

Следствие к лемме: Всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.

Следствие теоремы вытекает из того, что и суть рациональные числа.

1 модуль

Тема №2

Предел последовательности

Лекция №8

1. Число е.

2. Подпоследовательности.

3. Теорема о сходимости подпоследовательности сходящейся последовательности.

4. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Число е

Докажем, что .

Доказательство: 1.Рассмотрим последовательность с общим членом : , , …, ,… . (2; 2,25; 2,357; 2,44; …, ,…).

Требуется доказать, что, – иррациональное число, т.е., что последовательность сходится к при .

2.Известно, что возрастающая последовательность, ограниченная сверху сходится к конечному числу.

3.Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

.

4.Представим выражение в следующем виде:

или

.

5.Аналогичным образом представим элемент данной последовательности:

.

6.Сравним два выражения и , .

7.Так как, , то поэтому .

8.Сравним и .

Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего слагаемого в выражении . Кроме того, у по сравнению с добавляется одно положительное слагаемое. Следовательно, , т.е. последовательность возрастает. Осталось доказать, что она ограничена сверху.

9.Рассмотрим опять n^ый элемент последовательности:

.

10.Каждое выражение, стоящее в круглых скобках меньше 1, т.е.

.

11.Учитывая это, получим, , так как

.

12.Известно, что при .

(Например, ; и т.д.).