Свойства четных и нечетных функций
Алгебраическая сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная):
а) Для четных функций:
;
б) для нечетных функций:
.
Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная:
а) Для четных функций:
;
б) Для нечетных функций:
.
Произведение четной функции на нечетную функцию есть функция нечетная:
.
Всякая функция , заданная на некотором симметричном промежутке, может быть приставлена в виде суммы четной и нечетной функций, заданных на этом же промежутке.
Периодические функции
Определение
№1. Функция
,
заданная на некотором множестве,
называется периодической с периодом
,
где
,
если
из этого множества, числа
тоже входят в область задания функции
и при этом справедливо равенство:
.
Примеры:
Определение №2. Периодом функции называется наименьший из всех положительных периодов.
Пример:
Функция
называется
-периодической,
хотя ее периодом будут такие числа
,
где
Чтобы
построить график
-периодической
функции достаточно пост-роить его в
пределах одного периода, т.е. от любого
значения
до
.
Затем сдвигая построенный график вправо
и влево на расстоянии
,
получим графическое представление
функции на всем желаемом промежутке.
2 модуль
Тема №3
Функции и их свойства. Операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Предел функции
Лекция №10
1. Предел функции по Гейне и Коши.
2. Примеры.
3. Геометрический смысл предела функции в точке.
4. Эквивалентность двух определений.
5. Односторонние пределы.
6. Теорема о связи односторонних пределов функции в точке с пределом функции в точке.
Предел функции по Гейне и Коши
Генрих Эдуард Гейне (1821-1881)– немецкий математик.
1.Пусть
дана функция
,
определённая на некотором множестве
.
И пусть точка
или
.
Возьмём из множества
после- довательность точек
отличных от
при
:
,
сходящуюся к
,
т.е.
.
Таким
образом,
—
последовательность значений аргумента
х. Зна- чения функции в точках этой
последовательности также образуют
числовую последовательность:
.,
т.е.
[30]
.
Теперь
можно поставить вопрос о существовании
предела функции
в
точке
.
Определение
№1 по Гейне( «на языке последовательностей»).
Число
называется пределом функции
в точке
,
если для любой сходящейся к
последовательности значений аргумента
,
отличных от
,
соответствующая последовательность
значений функции
схо- дится к числу
.
Символически
это записывается так:
или
.
Из
определения следует, что функция
,
определенная на множестве Х, имеет
предел, равный
,
т.е.
,
если
а)
—
сходящаяся к
последовательность значений аргумента;
причем
,
,
.
б)
—
сходящаяся к
последовательность значений функции
, т.е.
.
Примеры.
1). Функция
.
Доказать, что эта функция имеет в каждой
точке
числовой прямой предел, равный
.
Доказательство
1.
Если
,
,
сходящаяся к
последовательность значений аргумента
,
то последовательность значений функции
будет иметь вид:
или
2.
Значит, предел последовательности
значений функции имеет тот же предел
:
.
3.
На основании определения предела функции
в точке по Гейне функция
будет иметь тот же предел в точке
:
.
4. Так как точка выбиралась произвольно, то функция будет иметь в любой точке числовой прямой предел, равный С [30]. Ч.т.д.
Рис.1.
2).
Функция
.
Доказать, что в каждой точке
числовой прямой эта функция имеет
предел, равный
,
т.е.
.
Доказательство
1.
Пусть последовательность значений
аргумента, сходящаяся к
,
имеет вид:
,
и
.
2. Тогда последовательность значений функции будет иметь вид:
или
,…
.
3. Т. е. последовательности и тождественны.
4.
Значит, последовательность значений
функции имеет тот же предел:
5.
Поэтому на основании определения
предела функции в точке по Гей- не
функция
будет иметь тот же предел
,
т. е.
.
6. Так как точка выбиралась произвольно, то функция в лю -бой точке числовой прямой будет иметь предел, равный [28]. Ч.т.д.
3).
Функция Дирихле
не имеет предела ни в одной точке
числовой прямой.
Доказательство
1. Так для последовательности рациональных значений аргумента, схо- дящейся к , соответствующая последовательность значений функции имеет предел, равный 1.
2. А для последовательности иррациональных значений аргумента, сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции будет иметь предел , равный 0.
3.
Следовательно,
предела
не имеет [30]. Ч.т.д.
Огюстен Луи Коши (1789-1857) –французский математик.
Определение
№2 по Коши («на языке
»).
Число
называется пределом функции
в точке
,
если для
выполняется
неравенство
.
С помощью символов определение можно записать так:
.
Замечание
№1. Неравенство
можно записать так:
.