Часть 1: исследование параметров выборки с нормальным законом распределения по методу моментов.

Задание 1. Получение выборки с заданными и .

Объем выборки

Заданные параметры нормального закона .

Параметры равномерного распределения .

Получение выборки в массиве , :

.

Задание 2. Вычисление моментов.

1-й начальный выборочный момент (оценка математического ожидания СВ X):

.

2-й центральный выборочный момент (оценка дисперсии СВ X):

.

Оценка среднего квадратического отклонения:

.

Часть 2: оценки параметров выборки по методу максимального правдоподобия.

Задание 1. Оценка параметра нормального распределения для выборки.

Плотность распределения:

(считаем неизвестным параметром).

Функция правдоподобия .

График функции правдоподобия:

Поиск наиболее правдоподобного значения параметра :

– начальное приближение,

.

Встроенная функция root применяется для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

– наиболее правдоподобное значение .,

.

Проверка найденного значения с помощью второй производной:

.

Задание 2. Оценка параметра нормального распределения (для той же выборки ).

Плотность распределения:

(считаем неизвестным параметром).

Функция правдоподобия .

График функции правдоподобия

Поиск наиболее правдоподобного значения параметра

Начальное приближение –

S – наиболее правдоподобное значение

Проверка найденного значения с помощью второй производной:

.

Задание 3. Оценка параметров и нормального распределения (для той же выборки )

Плотность распределения

(считаем и неизвестными параметрами)

Функция правдоподобия

Поиск наиболее правдоподобных значений параметров и (решаем систему уравнений)

– начальные значения и

Given

Сравните найденные значения с моментами и :

Задание к лабораторной работе

Разработать собственный документ , решающий следующие задачи :

• получение выборки случайных чисел заданного объема с нормальным законом распределения (непрерывная случайная величина);

• получение оценок параметров и по методу моментов;

• получение оценки параметра по методу максимального правдоподобия, считая значение параметра известным;

Сравнить полученные результаты с теоретическими и сделать выводы о правильности проделанной работы.

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать :

- теоретическое введение;

- номер варианта;

- исходные данные (значения параметров и );

- текст разработанного документа для получения и обработки выборки непрерывной случайной величины с нормальным распределением;

- проверку правильности документа;

- расчеты для объемов выборок 10, 50 и 100;

- выводы по проделанной работе.

Контрольные вопросы

I. Назовите выборочные числовые характеристики.

2. Какими свойствами должны обладать оценки?

3. Приведите примеры состоятельной, несмещенной и эффективной оценок.

4. Что такое функция правдоподобия? В чем сущность метода наибольшего правдоподобия ?