Варианты заданий

Начальные значения параметров и

№ варианта
1	1	1
2	1	2
3	0	3
4	2	4
5	1	4
6	2	5
7	0	1
8	3	4
9	1	5
10	1	3

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 4

Интервальные оценки параметров распределения

Цель работы: Изучение вычислительных возможностей пакета MathCAD при нахождении интервальных оценок математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности опытных данных по результатам выборки из этой совокупности.

Используемые программные средства: MathCAD 14.

Теоретические сведения

Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного оцениваемого параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Пользоваться полученными значениями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.

Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью и рассмотрим выборку из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине , имеющей распределение , где – неизвестный параметр. Предположим, что удалось найти две функции для которых:

1) < при всех ;

2) .

В этом случае интервал называется доверительным интервалом для параметра , соответствующим доверительной вероятности 1– .

Доверительные интервалы для математического ожидания

Известная дисперсия D(ξ). Пусть ξ –нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием a и известной дисперсией D(ξ). В качестве оценки параметра a возьмем выборочное среднее xv:= . Известно, что:

1. Случайная величина xv распределена нормально и ее математическое ожидание равно a, M(xv)=a.

2. Случайная величина xv-a распределена нормально и ее математическое ожидание равно нулю, M(xv-a)=0.

3. Дисперсия случайной величины xv-a равна D(xv-a)= ;

4. Случайная величина распределена нормально с параметрами 0 и 1.

Зададим доверительную вероятность и определим величину из уравнения .

Если случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то с вероятностью ее значение попадает в интервал ( ). Случайная величина также имеет стандартное нормальное распределение, поэтому ее значение с вероятностью попадает в интервал ( ), и, следовательно, с вероятностью выполняется неравенство

Неизвестная дисперсия D(ξ). Обычно вместо неизвестной дисперсии D(ξ) вычисляют оценку дисперсии и рассматривают величину , которая распределена по закону Стьюдента с n–1 степенями свободы.

Зададимся доверительной вероятностью и определим величину из уравнения , где – функция распределения Стьюдента с n–1 степенями свободы.

Строим доверительный интервал .

Этот интервал с вероятностью накрывает оцениваемый параметр a.