Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Определения и обозначения, используемые в работе

Определение 1.1.1. Непустое множество с определенной на ней бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1) ассоциативность операции на ;

2) ;

3) .

Определение 1.1.2.

1) Порядком конечной группы называется число его элементов и обозначается .

2) совокупность всех простых делителей порядка группы , то есть .

Определение 1.1.3. Непустое подмножество группы называется подгруппой группы и обозначается , если является группой относительно той же операции, что и группа .

Определение 1.1.4. Пусть – группа, . Индексом подгруппы в группе называется число смежных классов в разложении группы по подгруппе и обозначается .

Определение 1.1.5. Подгруппа группы называется нормальной подгруппой и обозначается , если выполняется такое равенство , .

Определение 1.1.6. Подгруппа группы называется нормальной, если , .

Определение 1.1.7. Нормальная подгруппа группы называется минимальной нормальной подгруппой, если и справедливо: если , то или и обозначается . Другими словами, не существует такой нормальной подгруппы группы , чтобы .

Определение 1.1.8. Пусть группа, . Подгруппой порожденной множеством , называется пересечение всех подгрупп группы , содержащих множество , и обозначается , то есть где

Определение 1.1.9. Подгруппа группы называется максимальной подгруппой группы и обозначается , если и справедливо: если , то или .

Другими словами, , если и не существует такой подгруппы группы , что .

Определение 1.1.10. Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех максимальных подгрупп группы , если они существуют, и сама группа в противном случае и обозначается , то есть где или .

Определение 1.1.11. Пусть группа, . Элемент называется необразующим (непорождающим) элементом группы , если из всегда следует, что .

Определение 1.1.12. 1) Элемент группы называется центральным элементом группы , если он перестановочен с каждым элементом группы , то есть .

2) Центром группы называется множество всех центральных элементом группы и обозначается , то есть .

Определение 1.1.13. Пусть – группы. Множество относительно покоординатного умножения элементов является группой, которая называется внешним прямым произведением групп и .

Определение 1.1.14. Группа удовлетворяющая трём условиям:

1)

2)

3)

называется внутренним прямым произведением подгрупп и , и обозначается

Определение 1.1.15. Пусть – группа.

1) Нормализатором подмножества в группе называется множество всех элементов группы , перестановочных с в целом и обозначается , то есть

2) Централизатором подмножества в группе называется множество всех элементов группы , перестановочных с поэлементно и обозначается , то есть

Определение 1.1.16. Группа называется примарной, если её порядок равен степени некоторого простого числа.

Определение 1.1.17. Пусть Группа называется -группой, если , где

Определение 1.1.18. 1) Пусть где Подгруппа группы называется силовской -подгруппой группы ( -силовской, силовой), если и обозначается .

2) - множество всех силовских -подгрупп группы .

Определение 1.1.19. 1) Конечная последовательность подгрупп группы вида (1) называется рядом группы .

2) Конечная последовательность подгрупп группы вида (2) называется цепью группы , соединяющей с , или - цепью.

3) Число называется длиной ряда (1) или цепи (2). Подгруппы называются членами ряда (1) или цепи (2).

Определение 1.1.20. 1) Ряд (цепь) группы называется нормальным рядом (цепью), если .

2) Ряд (цепь) группы называется субнормальным рядом (цепью), если .

3) Факторгруппы нормального (субнормального) ряда называются нормальными (субнормальными) факторами группы .

Определение 1.1.21. 1) Нормальный ряд группы без повторений членов называется главным рядом группы , если он не допускает дальнейшего уплотнения нормальными подгруппами, т.е. .

2) Субнормальный ряд группы без повторений членов называется композиционным рядом группы , если он не допускает дальнейшего уплотнения субнормальными подгруппами, т.е. .

3) Фактор главного (композиционного ряда) называется главным (композиционным) фактором.

Определение 1.1.22. Конечная группа называется разрешимой, если обладает нормальным рядом с абелевыми факторами.

Определение 1.1.23. Конечная группа называется разрешимой, если обладает главным рядом с абелевыми факторами.

Определение 1.1.24. Конечная группа называется разрешимой, если обладает композиционным рядом с факторами простого порядка.

Определение 1.1.25. 1) Группа называется разрешимой, если для некоторого , то есть если ряд коммутантов группы обрывается на единичной подгруппе.

2) — множество всех разрешимых групп.