Глава 2. Нильпотентные группы
2.1. Нильпотентные конечные группы их простейшие свойства.
Определение 2.1. Конечная группа называется нильпотентной, если каждая силовская подгруппа группы нормальна в .
Определение 2.2. Конечная группа называется нильпотентной, если является прямым произведением своих силовских подгрупп.
Через обозначается множество всех конечных нильпотентных групп.
Теорема 2.1 (Свойства нильпотентных групп).
1.
Если
,
,
то
.
2.
Если
,
,
то
.
3.
Если
,
,
то
.
4.
Если
,
,
то
.
5.
Если
,
,
то
.
6.
Если
,
,
то
.
Доказательство.
1. Пусть , . Покажем, что .
Пусть
.
Покажем, что
.
Пусть
– силовская p-подгруппа
в G.
Так как
,
то
.
Следовательно, по теореме 1.2.3(2),
.
Достаточно показать, что
.
Так
как
– p-подгруппа
группы
содержится в некоторой силовской
p-подгруппе
группы
.
Покажем, что
Так как по условию теоремы
,
то
.
Согласно определению 1.1.6.
.
С другой стороны, по теореме 1.2.11(3): любые
две силовские p-подгруппы
группы сопряжены, то есть, если
то
.
Но
,
а, следовательно,
и
.
Значит, если силовская p-подгруппа
нормальна в группе, то она совпадает с
любой силовской p-подгруппой
данной группы. Можно сделать вывод, что
нормальная силовская p-подгруппа
единственна в группе. Тогда
и
(1) и
(2).
С
другой стороны, так как
,
то
– группа
– подгруппа группы
,
а по теореме 1.2.1
,
где
где
– p-подгруппа
группы
.
Таким
образом,
,
но
–
силовская p-подгруппа
.
А по (1)
.
Следовательно
,
и
.
2. Пусть , . Покажем, что то
Пусть
.
Так как
,
то
,
причем по теореме 1.2.12(2)
.
Тогда
.
3.
Пусть
,
,
.
Покажем, что
.
Пусть
,
.
Так как
и
,
то
,
,
причем
,
так как
.
Пусть
.
Покажем, что
.
Для этого необходимо показать, что
.
Так как
и
,
то по теореме 1.2.3(3) достаточно показать,
что
.
Покажем, что
.
То есть, покажем что
.
Так как
,
достаточно показать, что
,
где по определению 1.1.14
.
Для
этого достаточно
показать, что
,
.
По
условию теоремы
и
(4). По теореме 1.2.9(1)
перестановочны поэлементно
.
Значит,
и так как
,
то
.
Таким образом,
(5). Из (4) и (5)
.
Следовательно,
.
Аналогично можно показать, что
.
Из доказанного следует, что
.
По теореме 1.2.2
.
Так как
,
где
,
поскольку
–
силовские p-подгруппы.
Значит
По доказанному,
.
4. Пусть , . Покажем, что .
По
теореме 1.2.10
,
где
.
Так как
,
,
а по свойству изоморфных групп
.
5. Пусть , . Покажем, что .
Пусть
Так как
,
то
.
Так как
,
то
,
где
,
а значит
.
Таким образом,
,
а по лемме 1.2.2(1)
,
.
6. Пусть , . Покажем, что .
Допустим,
что
– контрпример минимального порядка,
то есть
,
,
но
,
причем
– группа наименьшего порядка с таким
свойством.
Рассмотрим
.
Так как
,
,
то
.
Возможны 2 случая:
а)
Пусть
По
лемме 1.2.1(1)
,
а значит, существует
.
Так как
,
то
,
то по теореме о соответствии
.
По следствию 1.2.1
,
но так как
,
то
.
Получено противоречие.
б)
Пусть
.
Тогда,
.
По лемме 1.2.1 так как
,
то
.
Так как
,
то
.
Таким образом,
.
По условию
,
а по доказанному
.
Получено противоречие.
Из пунктов а) и б) следует, что контрпримера не существует. Следовательно, теорема верна для любой .
Теорема
2.2.
1. Если
– неединичная нильпотентная группа,
то центр
и
.
2. В нильпотентной группе каждая собственная подгруппа отличная от своего нормализатора.
3.
В нильпотентной группе
– пересечение неединичной нормальной
подгруппы
с центром группы отлично от единицы и
.