2.2. Критерии нильпотентности групп
Рассмотрим критерий нильпотентности групп и связь нильпотентной группы со своей подгруппой Фраттини.
Теорема
2.3
(Критерий
нильпотентности).
.
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть , . Покажем, что .
Так
как
,
то
и
,
а значит
,
следовательно
.
2)
Достаточность. Пусть
,
.
Покажем, что
.
Пусть
.
Покажем, что
.
Достаточно показать, что
.
Допустим, что
тогда
существует
,
такая, что
а по лемме 1.2.5 следует, что
.
Таким образом,
следовательно
.
Получено противоречие. Таким образом,
,
а значит,
.
Отсюда следует, что
.
Теорема доказана.
Определение
2.3.
Нормальный ряд
группы
G
называется центральным, если
,
.
Определение 2.4. Группа называется нильпотентной, если обладает центральным рядом.
Теорема 2.4. Конечная нильпотентная группа является разрешимой.
Доказательство.
Пусть
имеет нормальный ряд
,
где
,
.
Покажем, что
–
абелева группа.
Так
как
и
,
(6). Обозначим
,
а
.
С другой стороны, так как
,
то есть
,
то
.
Но по (6)
,
значит
где
рассматривается как элемент из
.
Значит,
–
абелева группа. По определению 1.1.22
.
Теорема доказана.
Теорема 2.5. (Фраттини). Подгруппа Фраттини конечной группы является нильпотентной.
Доказательство.
Пусть
– конечная группа. Покажем, что
.
Пусть
.
Покажем,
что
.
Так
как
,
то по лемме 1.2.4
,
а по теореме 1.2.5
.
По теореме 1.2.6
.
По замечанию 1.2.2
.
Следовательно,
,
а значит
,
отсюда следует, что
и
.
Теорема доказана.
Теорема
2.6.
1.
.
2.
.
Теорема
2.7.
1. Пусть
.
Если
,
то
.
2.
Если
,
то
.
3.
Если
,
то
.
4.
Если
,
то
.
5.
Если
и
,
то
.
6.
Если
– абелева группа.
7.
.
Определение
2.5.
Пусть
– конечная группа. Наибольшая нормальная
нильпотентная подгруппа группы
называется подгруппой Фиттинга и
обозначается
.
Теорема 2.8. (Фиттинга). Пусть – конечная группа. Тогда произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы является подгруппой Фиттинга то есть в конечных группах подгруппы Фиттинга существуют.
Лемма 2.1. 1. – наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы G.
2.
.
3.
Лемма
2.2.
1.
;
если
разрешима и
,
то
.
2.
=
.
3.
Если
,
то
;
если, кроме того,
абелева, то
.
Теорема
2.9.
1.
.
2.
.
3.
Если
,
то
.
4.
Если
,
то
.
5.
,
где
пробегает все главные факторы группы
.
Теорема
2.10.
Пусть
.
Если фактор-группа
нильпотентна, то
нильпотентна.
Теорема 2.11. Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда ее коммутант содержится в подгруппе Фраттини.
Определение
2.6.
Нильпотентной длиной разрешимой группы
называют наименьшее
,
для которого
,
и обозначают
.
Лемма 2.3. 1. Если – разрешимая группа, то длина любого нормального ряда группы с нильпотентными факторами не меньше, чем .
2. Нильпотентная длина разрешимой группы совпадает с длиной самого короткого нормального ряда с нильпотентными факторами.