2.3. Метанильпотентные группы
Определение
2.7.
Если фактор-группа
нильпотентна, то группу
называют метанильпотентной.
Теорема 2.12. 1. В разрешимой группе подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
2. В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.
Доказательство.
Обозначим
через
пересечение всех максимальных подгрупп
группы
,
не содержащих
,
а через
пересечение максимальных подгрупп
группы
,
содержащих
.
Ясно, что подгруппы
и
характеристические в группе
и
.
1.
В фактор-группе
подгруппа Фиттинга
на основании леммы 2.2, поэтому
.
Предположим, что
и
– минимальная нормальная подгруппа
группы
,
содержащаяся в
.
Так как подгруппа
нормальна в группе
и фактор-группа
нильпотентна, то по теореме 2.7 подгруппа
K
нильпотентна и
.
Но теперь
,
то есть получили противоречие. Поэтому
допущение неверно и
,
то есть
.
2.
Пусть
– разрешимая нильпотентная группа.
Ясно, что
и
.
Поэтому
метанильпотентна.
Заключение
В данном реферате были выполнены следующие задачи:
1. Рассмотрены определения нильпотентной группы, нильпотентной длины разрешимой группы, подгруппы Фиттинга, центрального ряда группы.
2. Изучены основные свойства нильпотентных групп. Рассмотрен критерий нильпотентности и связь нильпотентных групп с разрешимыми группами. Изучены свойства подгруппы Фитинга и свойство нильпотентности подгруппы Фраттини.
3. Исследована связь метанильпотентных групп с подгруппами Фиттинга конечных нильпотентых групп.
Список используемой литературы
Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ имени П.М. Машерова, 2012.
Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. - М.: Физико-математическая литература, 2000.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.
Курош А.Г. Теория групп. – М.: Физико-математическая литература, 2011.
Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие. – Мн.: Вышэйшая школа, 2006.