9. Колебания решетки. Линейная цепочка

Кристаллическая структура — равновесное состояние системы атомов, отвечающее минимуму потенциальной энергии. В состоянии покоя сумма сил, действующих на каждый атом кристалла со стороны других атомов, равна нулю.

Е сли вывести эту систему из положения равновесия, в кристалле возникнут сложные колебания. Эти колебания, в частности, всегда имеются при конечной температуре, когда кристаллическая структура обладает определенной (тепловой) энергией, т.е. не находится в состоянии статического равновесия.

При смещении атома относительно других атомов кристалла возникает сила, стремящаяся вернуть его в равновесное положение. Если смещения невелики, мы можем разложить зависимость силы от смещений в ряд и ограничится линейными по смещениям членами. Тогда колебания кристаллической решетки будут линейными, т. е. будут описываться системой линейных дифференциальных уравнений.

Такая система уравнений обладает важным свойством: если есть несколько решений, то их сумма также является решением, т. е. сумма двух возможных колебаний — тоже колебание.

Эта система может быть решена, если известна зависимость силы, действующей на атом, от его смещения, а основные характеристики линейных колебаний могут быть предсказаны на основании одних только свойств симметрии кристалла.

Чтобы показать главные черты линейных колебаний кристаллической решетки, мы рассмотрим простейший случай одномерного кристалла — одномерную цепочку атомов.

Одномерная цепочка с одним атомом в примитивной ячейке

Рассмотрим одномерную периодическую цепочку атомов — одномерный кристалл с одним атомом в элементарной ячейке. Пусть период этой цепочки равен a. Тогда в состоянии равновесия координата n-го атома цепочки xn равна na.

График зависимости ω(k) для одномерной цепочки с одним атомом в примитивной ячейке изображен на рис. 2.

Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке

Исследуем теперь колебания цепочки, элементарная ячейка которой состоит из двух атомов с разными массами: M1 и M2, для определенности положим M1<M2. Период цепочки (расстояние между узлами ее решетки Браве) как и прежде обозначим через a (рис. 3). Для простоты будем считать, что ''пружинки'' соединяющие атомы имеют одинаковую жесткость γ.

10. Удельная теплоемкость и тепловое расширение твердых тел.

Основное следствие из факта колебаний решетки состоит в возможности их теплового возбуждения, что проявляется как вклад в темплоемкость твердого тела.

Закон Дебая для теплоемкости:

здесь и , –дебаевская частота, – температура Дебая.

Когда отношение велико получаем:

и соответственно – закон Дюлонга и Пти.

При низких температурах верхний предел интеграла можно устремить в бесконечность. Тогда

При рассмотрении решетки с базисом необходимо учитывать оптические колебания. Частота их мало зависит от волнового вектора и поэтому здесь лучше применима модель Эйнштейна, в которой всем колебаниям приписывается одна и та же частота. Отсюда

, где –эйнштейновская температура определяемая как .

Подавляющее большинство веществ при нагревании расширяется. При нагревании молекулы или атомы вещества начинают двигаться быстрее. В твердых телах атомы начинают с большей амплитудой колебаться вокруг своего среднего положения в кристаллической решетке, и им требуется больше свободного пространства. В результате тело расширяется.

Основной закон теплового расширения гласит, что тело с линейным размером Lв соответствующем измерении при увеличении его температуры на ΔТ расширяется на величину ΔL, равную:

ΔL = αLΔT

где α — так называемый коэффициент линейного теплового расширения.