Билет №14 Ньютон интерполяциялық көпмүшеліктері.

Көп жағдайда интерполяциялау аргументтің мәндері бірдей арақашықтықта орналасқан кестемен берілген функциялар үшін жүргізіледі. Бұл жағдайда кестенің қадамы -тұрақты шама. Мұндай кестелер үшін интерполяциялық формулаларды біршама ықшамдауға болады.

Ақырлы айырымдар. Функция тұрақты қадамды кестемен берілген делік:

			……..
	y		…….

Көрші интерполяция түйіндерідегі функция мәндерінің айырымдары бірінші ретті айырымдар деп аталады:

Бірінші ретті ақырлы айырымдардан екінші ретті ақырлы айырымдар құралады:

Осы процесті жалғастыра отырып функцияның берілген кестесі бойынша ақырлы айырымдар кестесін құруға болады:

	y				……….
…..	…..	……	…..	……

Кесте(14.2)

Кезкелген ретті ақырлы айырым функция мәндері арқылы өрнектелуі мүмкін. Шынында да, бірінші ретті ақырлы айырым үшін бұны тікелей анықтамадан көреміз, ал екінші ретті айырым үшін келесі теңдік орынды:

.

Дәл осылайша үшінші ретті айырым үшін төмендегідей өрнек аламыз:

және т.с.с.

Математикалық индукция әдісі бойынша

(14.2)

екенін дәлелдеуге болады.

Лагранжаның интерполяциялық көпмүшесі

Лагранж интерполяциялық көпмүшелігі. ! функциясы 14.1-кестемен берілсін делік. (14.2) шарттарын қанағаттандыратын дәрежесі -нен аспайтын интерполяциялық көпмүшелігін құрайық.

Oны

(15.1)

түрінде іздейтін боламыз, мұндағы ші дәрежелі көпмүшелік :

(15.2)

(15.2) теңдігінің орындалуы (15.1) –ті есепке алғанда (14.2) шарттарының орындалуын қамтамасыз ететіні айқын екенін байқаймыз.

Ал көпмүшеліктерін келесідей құрамыз:

(15.3)

мұндағы тұрақты коэффицент. Оны (11.5) шартының бірінші бөлігінен табуға болады:

ді (15.3)-ға қоямыз және (15.1) –ті ескерсек Логранж интерполяциялық көпмүшелігі деп аталатын көпмүшелікті аламыз:

(15.4)

өрнегі Лагранж коэффиценттері деп аталады. Коэффиценттерін есептеу үшін айрымдарды төмендегідей орналастырған ыңғайлы :

(15.5)

Мұндағы -ші қатардың элементтерінің көбейтіндісін , ал басты диагоналдың элементтерінің көбейтіндісін арқылы белгілейік.

Онда (15.6)

және Лагранж интерполяциялық көпмүшелігін келесі түрде жазуға болады.

=

Билет №15 Бірінші Ньютон интерполяциялық формуласы

Бірінші Ньютон интерполяциялық формуласы. Тұрақты қадамды кестемен берілген функция үшін ақырлы айырымдар кестесін (кесте 14.2) құрдық делік. Интерполяциялық көпмүшелікті келесі түрде іздейтін боламыз: (14.3)

Бұл -ші дәрежелі көпмүшелік. Белгісіз коэффицентерінің мәндерін берілген функция мен көпмүшеліктің түйіндердегі мәндері бірдей болу шартынан табамыз.

(14.3)-де деп алайық:

.

Келесінде -ке және мәндерін бере отырып тізбекей төмендегі мәндерді аламыз:

Осыған ұқсас тұжырымдар келтірсек, онда өрнегін ал жалпы жағдайда

(14.4)

өрнегін алған болар едік. (14.4) өрнегін (14.3)-ге қойсақ ізделінді көпмүшелікті аламыз:

(14.5)

Практикада көп жағдайда бұл формула басқаша түрде жиі қолданылады. яғни Oнда:

және т.с.с.

Бұл теңдіктерді ескерсек, онда (14.3) көпмүшелігі үшін келесідей өрнекті аламыз:

(14.6)

(14.6) формуласы бірінші Ньютон интерполяциялық формуласы деп аталады. Бұл формула интерполяция аралығның бас жағында интерполяциялау үшін қолданылады. ( - абсолют шамасы бойынша аз шама болсын). Сондықтан бірінші Ньютон интерполяциялық формуласын алға қарай интерполяциялау формуласы деп те атайды.