Холецкий әдісімен танысу

(10.1)

Матрицалық түрде жазылған сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық, мұндағы - квадратты матрица және

, - вектор бағаналар.

матрицасын көбейтіндісі түрінде өрнектейтін, мұндағы

= , =

Олай болса және элементтерін төмендегі формула бойынша анықтауға болады:

(10.2)

және (10.3)

Онда ізделінді векторын

(10.4)

теңдеулер тізбегінен есептеуге болады.

Ал және матрицалары үшбұрышты болғандықтан, (10.4) жүйелерді шешу қиынға соқпайды:

(10.5)

және (10.6)

(10.5) формуладан сандарын коэффиценттерімен бірге есептеу тиімді екенін көреміз. Мұндай есептеу схемасы Халецкий схемасы деп атлады. Схемада әдеттегідей қосып отыру арқылы бақылау жүргізуге болады.

Билет №12 Жай итерация әдісі

(11.1)

теңдеуін, мұндағы - квадратты ерекше емес матрица, келесі түрде жазайық:

(11.2)

немесе қысқаша

(11.2) жүйенің оң жақтағы -өлшемді векторлық кеңістіктің нүктесін осы кеңістіктегі нүктесіне түрлендіретін қандайда-бір F бейнесін анықтайды:

(11.3)

бастапқы нүктесін таңдай отырып (11.2) жүйесінің көмегімен -өлшемді кеңістіктегі нүктелердің итерациялық тізбегін құруға болады:

(11.4)

Бірінші лекцияда метрика ұғымын ендірген болатынбыз.  матрикасы ендірілген жиын метрикалық кеңістікке айналатыны белгілі.

def 11.1 Егер теңсіздігі орындалса, онда метриналық кеңістіктің мұндай нүктелер тізбегі фундаменталды деп аталады.

def 11.2 Егер ондағы кезкелген фундаменталды тізбек жинақты болса, онда мұндай кеңістік толық деп аталады.

def 11.3 -  метрикалы Е метрикалық кеңістігіндегі бейнелеу;

кеңістігіндегі нүктелер, ал -бұл нүктелердің бейнелері болсын. Егер екі нүктесі үшін

(11.5)

теңсіздігі орындалатындай саны табылса, онда бейнелеуі сығылымды бейнелеу деп аталады.

def 11.4 Егер болса, онда нүктесі бейнелеуінің қозғалмайтын нүктесі деп аталады.

(11.2) жүйеге байланысты қозғалмайтын нүкте-ол сол жүйенің шешімі екені түсінікті.

ТҺ 11.1 (сығылымды бейнелеу принципі). Егер -толық метрикалық кеңістікте анықталған сығылымды бейнелеу болса, онда теңдігін қанағаттандыратын жалғыз ғана қозғалмайтын нүктесі табылады. Мұндай х⁽⁰⁾ бастапқы мүшесі кезінде -ке жинақты болады. 

Бейнелеудің қозғалмайтын нүктесі мен жуықтауының арасындағы арақашықтықтың бағалауы келесі формуламен беріледі:

(11.6)

Ал бұл теңсіздікте -ші жуықтауды нөлінші жуықтау деп қабылдасақ (яғни ), онда тағы бір мынадай маңызды теңсіздікті аламыз:

(11.7)

Мұнда - (11.5) сығылу шартындағы көбейткіш.

Сонымен, (11.2) жүйені жай итерация әдісімен шешу үшін (11.3) қатынысымен берілген бейнелеуі сығылымды екеніне көз жеткізу жеткілікті. Олай болса (11.3) бейнелеуі сығылымды болу шартын қарастырайық. Ал бұл сұрақтың шешімі (11.5) өрнектен көрініп тұрғандай кеңістіктегі метрикаға байланысты. өлшемді кеңістіктегі нүктелер болсын. Жай итерация әдісін практикада қолданған кезде САТЖ-н немесе метрикаларының біреуімен берілген кеңістікте қарастырған ыңғайлы (1-ші лекция):

;

;

р₃(х,у) .

Сонымен, метрикалық кеңістікте (11.3) теңдеулерімен берілген бейнелеуі сығылымды болу үшін төмендегі шарттардың біреуінің орындалуы жеткілікті:

а) ; (11.8)

б) ; (11.9)

в) . (11.10)