Билеті №8 Жанамалар әдісі.

теңдеуді шешудің тағы бір классикалық әдістерінің бірі Ньютон әдісі. [a,b] кесіндісінде туындылары үзіліссіз және белгілі таңбаларын сақтайтын болсын. Бұл әдістің итерациялық формуласын табу үшін мұндағы нүктесі арқылы жүргізілетін түзу функциясының графигіне жанама болуы қажет. Ол үшін бұл түзудің бұрыштық коэффиценті болуы керек. Жанаманың осьімен қиылысу нүктесінде у=0 болғандықтан

теңдеуінен

(6.1

Ньютон әдісін қолданғанда (4.1) теңдеудің түбірі орналасқан [a;b] кесіндісінің ұштарын көрсетудің қажеті жоқ, тек түбірдің бастапқы жуық мәнін беру жеткілікті.

\

Бастапқы жуықтау үшін [a;b] кесіндісінің бір ұшын (Сурет –6.1-де ) немесе оған тиісті деп қабылдауға болады. (6.1) формула бойынша -ны табамыз, содан кейін -ны есептейміз. Әрі қарай, және кесінділерінің қайсысының ұшында функциясының мәндері әртүрлі таңба қабылдайтынын анықтап аламыз да сол аралықта, жанаманың формуласын қайтадан қолданамыз.

аралығында үзіліссіз және үзіліссіз туындылары бар функция үшін есептеу процессінің жинақтылығының жеткілікті шартын анықтауға болады.

Ол үшін теңдігін түріне келтірсек k-ші жуықтау бұл жағдайда Ньютон формуласы бойынша:

Бұл шарт орындалуы үшін:

1. бастапқы жуықтау түбірдің дәл мәніне барынша жақын болады;

2. туынды аса үлкен болмауы;

3. туынды мүмкіншілігінше нөльден өзгеше болуы.

Осы шарттар сақталғанда біртіндеп итерация барысында

(6.2)

шарты орындалса, түбірдің жуық мәндері оның дәл мәніне тек ғана бір жағынан жақындайды. Сондықтан Ньютон әдісін қолданғанды бастапқы жуықтау үшін берілген кесіндінің қай жақ ұшында (6.2) шарт орындалса, сол үшін бастапқы жуықтау үшін қабылдаймыз. Жанаманың осьімен қиылысу нүктесі [a;b] кесіндісіне тиісті болуы үшін жанаманы кесіндінің F(x) функциясы және оның екінші туындысының таңбалары бірдей болатын ұшында жүргізу қажет. Сонда, егер болса , ал болса нүктесінде жүргіземіз.

Хорда мен жанамынцың біріктірілген әдісі.

Кейбір жағдайларда хорда мен жанама әдістерін қабат қолдануға болады. Мұны былай іске асырады. және нүктелері арқылы хорда жүргіземіз және (1-ші жағдай) болса А нүктесінде, әйтпесе (2-ші жағдай) В нүктесіндегі жанама жүргіземіз.

1- ші жағдай

2- ші жағдай

Екі жағдайда түбірінің мәні хорда әдісімен табылған мәні мен жанама әдісімен табылған мәнінің аралығына тиісті болады. 1-ші жағдайда түбірі шартын, 2-ші жағдайда шартын қанағаттандырады. теңсіздігі орындалғанда итерация аяқталады, мұндағы мен – қажетті дәлдікпен алынған түбірдің жуық мәндері. Егер болса, онда түбірі кесіндісінде бөліктенген және осы кесіндіге тағы да хорда мен жанама әдісін қолданамыз. болғанша итерацияны жалғастыра беру қажет. Біріктірілген әдістің артықшылығы оның:

1. шапшаң жинақтылығы;

2. табылған жуық түбірдің қателігі өте тез бағалануы;