Билет №10 Гаусс әдістері

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін екі топқа бөлуге болады: тура әдістер және итерациялық әдістер.

Тура әдістер берілген жүйенің шешімін ақырлы санды арифметикалық амалдардан кейін алуға мүмкіндік берумен сипатталады. Егер барлық амалдар дәл орындалса (дөңгелектеусіз) онда жүйенің шешімі де дәл болады. Тура әдіске жаттындар: Гаусс әдісі және оның әртүрлі өзгертілген түрлері (модификациялары), Крамер әдісі, ортогоналдау әдісі.

Итерациялық әдістер жуық әдіске жатады. Олар жүйенің шешімін біртекті схема бойынша есептелген тізбектелген жуықтаулардың шегі ретінде береді. Итерациялық әдістерге жататындар: Жай итерация әдісі, Зейдель әдісі, градиенттік әдістер және олардың өзгертілген түрлері.

Холецкий әдісі

(10.1)

Матрицалық түрде жазылған сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық, мұндағы - квадратты матрица және

, - вектор бағаналар.

матрицасын көбейтіндісі түрінде өрнектейтін, мұндағы

= , =

Олай болса және элементтерін төмендегі формула бойынша анықтауға болады:

(10.2)

және (10.3)

Онда ізделінді векторын

(10.4)

теңдеулер тізбегінен есептеуге болады.

Ал және матрицалары үшбұрышты болғандықтан, (10.4) жүйелерді шешу қиынға соқпайды:

(10.5)

және (10.6)

(10.5) формуладан сандарын коэффиценттерімен бірге есептеу тиімді екенін көреміз. Мұндай есептеу схемасы Халецкий схемасы деп атлады. Схемада әдеттегідей қосып отыру арқылы бақылау жүргізуге болады.

Билет №11 Гаусс әдісі

Гаусс әдісі. Бұл әдістің негізінде белгісіздерді біртіндеп (тізбектеп) жою идеясы жатыр. Оны жүзеге асыратын әртүрлі схемасы көрсетуге болады. Солардың бірі – бір рет болу схемасы (схема единственного деления). Түсінікті болу үшін төрт белгісізді төрт теңдеуден тұратын жүйені алайық:

(9.1)

! (басты элемент). (9.1) жүйенің бірінші теңдеуін -ге бөлеміз:

(9.2)

мұндағы .

(9.2) теңдеудің көмегімен (9.1) жүйедегі екінші, үшінші және төртінші теңдеулерден белгісізін жоюға болады. Ол үшін (9.2) теңдеуді -ге, -ге және -ге көбейтіп, нәтижесін сәйкес түрде 2-ші, 3-ші және 4-ші теңдеуден алып тастау керек:

(9.3)

мұндағы коэффиценттері келесі формуламен есептеледі:

(9.4)

Одан кейін (9.3) жүйенің 1-ші теңдеуін -ге бөлеміз:

(9.5)

мұндағы (j= ).

ді жойғанға ұқсас ні жоямыз:

(9.6)

мұндағы (9.7)

Енді (9.6) жүйенің 1-ші теңдеуін -ге бөлеміз:

(9.8)

мұндағы (j=4,5). Бұл теңдеудің көмегімен (9.6) жүйенің 2-ші теңдеуінен ті жоямыз:

мұндағы (j=4,5). (9.9)

нәтижесінде (9.1) жүйені оған эквивалентті үшбұрышты матрицаны жүйеге келтіреміз:

(9.10)

және тізбектеп белгісіздерді табамыз: