3. Потоки Эрланга
Поток Пальма, у которого интервалы времени между поступлениями требований являются случайной величиной с функцией распределения Эрланга
,
называется потоком Эрланга порядка k, .
В частности, поток Эрланга 1-го порядка является простейшим потоком, то есть,
.
Пусть требования, поступающие в систему, образуют простейший поток. Потоку Эрланга порядка k будет удовлетворять каждое k-ое из множества поступивших требований простейшего потока. То есть, поток Эрланга является «разряженным» простейшим потоком. Например, если у поступивших по закону простейшего потока в СМО требований учитывать каждое второе, то получаем поток Эрланга 2-го порядка, с функцией распределения
.
Следовательно,
промежутки времени
между поступлениями соседних требований,
являются случайными с функцией
распределения Эрланга 2-го порядка и
равны
,
и т.д.
Рис. 4.4
С помощью потоков Эрланга можно моделировать потоки Пальма с различным последействием.
В
самом деле, при
получаем простейший поток (у него нет
последействия). При увеличении k
(до 10¸20)
получаем поток Пальма с интервалами
между поступлениями требований (как
показывают многочисленные эксперименты)
распределенными практически нормально.
При
получаем регулярный (не случайный)
поток.
Требование ограниченности последействия слабее, чем отсутствие последействие и, тем самым, охватывает более широкий круг практических задач.
4.3. Время обслуживания (выходящий поток требований)
Время
обслуживания
является важнейшей статистической
характеристикой, поскольку определяет
пропускную способность СМО. Обычно это
случайная величина h
с функцией распределения
.
В практических приложениях наиболее распространен экспоненциальный закон обслуживания требований
,
где
интенсивность
.
Время обслуживания требования числено равно математическому ожиданию времени обслуживания.
Экспоненциальная функция распределения наиболее приближена к таким реальным случайным процессам, в которых большинство требований обслуживается быстро, что на практике не всегда выполняется.
Пусть
в СМО, состоящую из n
разнотипных приборов, поступает случайный
поток требований, каждое из которых
обслуживают все приборы. Если время
обслуживания определяется экспоненциальным
законом распределения с интенсивностью
и обслуживание требования заканчивается,
если его обслуживание закончил первый
из приборов обслуживания, то функция
распределения будет экспоненциальной
,
где
.
В
частности, если все обслуживающие
устройства одинаковые, то их суммарная
интенсивность (для экспоненциального
закона)
,
где
,
- среднее время обслуживания требования
любым из n
устройств. Тогда
,
то
есть, при одинаковых обслуживающих
устройствах среднее время обслуживания
требования уменьшается в n
раз,
а
дисперсия – в
раз.
Это свойство справедливо только для экспоненциального распределения.
Более
общим, является эрланговская функция
распределения времени обслуживания
,
,
Для стационарного режима функционирования СМО с отказами справедливы формулы Эрланга для любых функций распределения времени обслуживания требований.
Для большинства СМО суммарное время обслуживания требований образует входящий поток, поэтому его важность для СМО не так существенна, поскольку практически не влияет на ее функционирование.
Однако входящий поток сразу становится важным, если он сам является входящим для других приборов. Это многофазовое обслуживание: требование обслуживается последовательно, переходя от одного прибора к другому.
Если начальный поток требований пуассоновский, то, проходя последовательно через обслуживающие устройства, поток искажается, постепенно «усиливая» последействие.