5.3. Модель производственных запасов

В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непосредственно с производственной линии. Будем счи­тать, что поступление товаров происходит непрерывно. Мо­дель задачи в этом случае называют моделью производствен­ных поставок. Обозначим через р скорость поступающего на склад товара. Эта величина равна количеству товаров, выпус­каемых производственной линией за год. Остальные обозначе­ния и предположения те же, что и для основной модели управ­ления запасами.

Определим оптимальный размер партии, минимизирую­щий общие затраты.

График изменения модели производственных запасов пред­ставлен на рис. 5.4.

Рис. 5.4

Общие издержки в течение года, как и для основной модели, составляют

Для получения среднего уровня запасов следует учесть, что

RT = (p — g)t — максимальный уровень запасов,

q = pt — количество товаров в одной производственной поставке.

Тогда средний уровень запасов составляет половину мак­симального и равен

В итоге

Решая уравнение dC/dq = 0, найдем оптимальный размер партии модели производственных поставок:

5.4. Модель запасов, включающая штрафы

Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную по­ставку.

Пусть предприятие должно поставить q ед. товара в тече­ние каждого промежутка времени L, за единицу времени по­ставляется g ед. товара (q = Lg).

Предположим, что в начале каждого периода L предприя­тие делает запас, равный k. Это означает, что в течение пе­риода будет наблюдаться дефицит товара и некоторое время поставки не будут осуществляться. Невыполненные заявки бу­дут накапливаться до максимальной величины q — k и будут удовлетворены, как только поступит следующая партия това­ров в количестве q.

За то, что товары доставляются предприятием позже необ­ходимого срока, на предприятие налагается штраф, который зависит от того, насколько была задержана поставка. Такая модель целесообразна, поскольку иногда выгоднее заплатить штраф, чем расходовать дополнительные средства на хране­ние запасов, превышающих величину k.

Задача управления запасами состоит в том, чтобы выбрать такое значение k, которое ведет к минимизации всех затрат, включая затраты на хранение и штрафы.

График изменения запасов модели представлен на рис. 5.5.

Рис. 5.5

Для определения оптимального значения k обозначим:

h — издержки хранения единицы товара за единицу вре­мени;

р — затраты на штраф в расчете на единицу товара за один день отсрочки.

Найдем издержки одного цикла:

где С₁ — общие издержки содержания запасов; С₂ — общие затраты на штраф.

Так как товары находятся на складе в течение периода ОА (см. рис. 5.5), средний уровень запасов за этот период равен k/2. Если продолжительность периода ОА равна k/g, то

Так как штраф выплачивается в течение периода АВ = (q — k)/g, общее число "товаро-дней", на которые налагается штраф, равно площади треугольника АВС. Площадь состав­ляет

откуда С₂ = p(q — k)²/2g.

Окончательно

Найдем dC/dk и, решив уравнение dC/dk = 0, получим оптимальное значение:

Взяв k_опт в качестве уровня запасов в начале каждого цикла при условии, что невыполненные заявки будут удовлетворены, сведем суммарные расходы С к минимуму: