4.4. Показатели эффективности

Под эффективностью функционирования СМО понимают числовые значения набора показателей (функций), характеризующих уровень выполнения заложенных в нее задач.

При анализе функционирования и определении оптимального варианта в качестве параметров используются:

n – число приборов (обслуживающих устройств);

a - интенсивность входящего потока;

b - интенсивность обслуживания требований;

l - интенсивность отказов обслуживающего устройства;

m - интенсивность восстановления отказавшего устройства;

m – число восстанавливающих устройств в системе и др.

1. Показатели эффективности, дающие количественную оценку смо:

- вероятность того, что в системе нет требований;

- вероятность того, что в системе обслуживанием занято k из n приборов;

Õ - вероятность того, что в системе все приборы заняты обслуживанием;

- среднее время, в течение которого любое требование, находящееся в очереди, ждет начала обслуживания;

A - средняя длина очереди;

B - среднее число обслуживаемых требований;

À₀ – среднее число свободных приборов;

À_з - среднее число приборов, занятых обслуживанием;

R - среднее число требований в системе;

- вероятность очереди;

- вероятность «потери» требования;

- среднее время пребывания требования в системе, где t_ср – среднее время обслуживания требования одним прибором;

- коэффициент простоя приборов;

- коэффициент загрузки системы.

2. Экономические показатели:

- стоимость обслуживания каждого требования в системе в единицу времени;

- стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди в единицу времени;

- стоимость потерь, связанных с уходом требования из системы, в единицу времени;

- стоимость эксплуатации каждого обслуживающего устройства в единицу времени;

- стоимость простоя обслуживающего устройства в единицу времени.

При выборе оптимальных значений параметров СМО экономические показатели могут быть достаточно эффективны.

Можно использовать функцию потерь за определенный временной промежуток T (например, месяц):

1. для систем с ожиданием

,

где A – средняя длина очереди, - среднее число свободных приборов, - среднее число занятых приборов;

2. для систем с отказами (ограничения на длину очереди)

;

3. для смешанных систем

.

Можно применить показатель экономической эффективности системы

,

где c – экономический эффект, полученный при обслуживании каждого требования в единицу времени, - вероятность обслуживания требования (для систем с отказами).

4.5. Примеры моделей смо

Модель 1 (системы с ожиданием)

На СМО, состоящую из n приборов, поступает пуассоновский поток требований на обслуживание интенсивностью . Время обслуживания каждого требования случайное с экспоненциальной функцией распределения и интенсивностью обслуживания . Если требование, поступившее в систему, застает все приборы занятыми, то оно встает в очередь и ждет до тех пор, пока прибор не освободится. В каждый момент времени любой прибор может обслуживать не более одного требования. Требуется проанализировать СМО.

Обозначим через  вероятность того, что в СМО находится k требований (состояние ), .

В соответствие с моделью имеем размеченный граф состояний СМО:

Рис. 4.5

Замечание. Для данной модели необходимо выполнение следующего условия:

то есть, входящий поток меньше, чем суммарный выходящий, иначе система не будет функционировать.

Определим показатели эффективности функционирования СМО:

1. - вероятность того, что все приборы свободны:

;

2. - вероятность того, что из n приборов занято обслуживанием k приборов (то есть, в системе находится k требований):

3. Õ - вероятность того, что все приборы заняты ( ):

;

4. - вероятность того, что все приборы заняты обслуживанием и s требований в очереди:

, ;

5. - среднее время, в течение которого требование ждет начала обслуживания:

;

6. вероятность того, что время ожидания в очереди больше среднего :

;

7. A – средняя длина очереди:

;

8. B - среднее число требований, находящихся в системе:

;

9. À₀ – среднее число свободных приборов

;

10. À_з - среднее число приборов, занятых обслуживанием:

;

11. R – среднее число обслуживаемых требований:

;

12. - коэффициент простоя приборов:

;

13. - коэффициент загрузки приборов:

;

14. - суммарные потери за отчетный период T:

,

- стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди, в единицу времени;

- стоимость потерь за простой обслуживающего устройства в единицу времени;

- стоимость эксплуатации прибора при обслуживании требований в единицу времени.

Пример 1. Станция «Железная дорога» в мегаполисе принимает составы для разгрузки угля на платформах. В среднем за сутки на станцию прибывают 16 составов с углем. Поступление носит случайный характер. Плотность прихода составов показала, что поступление на разгрузку удовлетворяет пуассоновскому потоку с параметром состава в час. Время разгрузки состава является случайной величиной, удовлетворяющей экспоненциальному закону со средним временем разгрузки час. Простой состава в сутки составляет y.e; простой платформы в сутки за опоздание прихода состава - y.e; стоимость эксплуатации платформы в сутки - y.e. Издержки подсчитать за сутки. Требуется провести анализ эффективности функционирования станции.

Решение. Условие существования решения выполнено. Имеем , 1/сутки, 1/сутки. В соответствие с моделью показателями эффективности являются:

1. Вероятность того, что станция свободна . Это означает, что в течение суток станция свободна »19 мин.

2. Вероятность того, что все платформы заняты . То есть, около 13 ч 20 мин. все платформы заняты.

3. Время ожидания разгрузки для каждого состава в среднем составляет ч.

4. Вероятность того, что время ожидания в очереди больше среднего , то есть, каждый третий состав ожидает больше 3-х часов.

5. Средняя длина очереди . Очередь велика. Подъездные пути необходимо дублировать.

6. Среднее число занятых платформ .

7. Среднее число составов на станции .

8. Среднее время нахождение состава на станции .

9. Коэффициент загрузки станции .

10). Коэффициент простоя .

В среднем каждая платформа простаивает 20% времени.

Для изменения времени простоев будем варьировать число платформ . Результаты расчетов сведем в табл. 4.1.

Таблица 4.1

№	показатели	платформы
		5	6	7	8
1	P0	0,013	0,017	0,18	0,182
2	Õ	0,555	0,29	0,136	0,058
3	, ч	3,3	0,87	0,27	0,09
4	A	11,1	1,74	0,42	0,12
5	R	15,1	4,42	3,76	3,76
6	B	1	2	3	3,96
7		0,2	0,3	0,43	0,48

Из табл. 4.1 следует, что при числе платформ почти в 4 раза снижается время ожидания разгрузки, а число составов, ожидающих разгрузки , то есть, почти в 6 раз.

Дальнейшее увеличение числа платформ хотя и улучшает показатели, но для окончательного ответа проведем экономические расчеты. Определим суммарные потери за сутки. За лучший (суб-оптимальный) вариант примем тот, для которого издержки наименьшие.

Имеем из (3.46) .

Результаты расчетов приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

№	показатели	платформы
		5	6	7	8
1	, ч	3,3	0,87	0,27	0,09
2		6600	1740	540	180
3		0,2	0,3	0,4	0,48
4		1000	1800	3010	3840
5		4000	4800	5600	6400
6		1160	8340	1115	10420

Из таблицы следует, что наиболее экономичным оказался вариант с платформами.

Замечание. При применении экономического показателя важно правильно оценить реальные издержки, которые могут изменяться, например, от времени года, от объема запасов угля и пр. Приведенные исходные данные демонстрируют скорее метод анализа, чем претензии на соответствие реально существующим издержкам.

Модель 2 (системы с ограниченным временем ожидания).

На СМО, состоящую из n приборов, поступает пуассоновский поток требований двух видов на обслуживание интенсивностью и , соответственно. Поступившее в систему требование 1-го вида может покинуть систему только после обслуживания, а требование 2-го вида, застав все приборы занятыми, сразу покидает систему. Время обслуживания любых требований является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с интенсивностью обслуживания . В любой момент времени каждый прибор может обслуживать не более одного требования. Требуется проанализировать эффективность функционирования СМО.

Обозначим через  вероятность того, что в СМО находится k требований (состояние ), .

В соответствие с моделью имеем размеченный граф состояний системы:

Рис. 4.6

Используя вероятности получим следующие показатели эффективности функционирования СМО:

1.  вероятность того, что в СМО нет требований:

;

где , , , .

2.  вероятность того, что k приборов занято обслуживанием, :

;

3. - вероятность того, что k требований находится в системе, при условии :

4. - вероятность очереди, т.е. того, что требований больше чем приборов:

;

5. - вероятность «потери» требования:

;

6.  среднее время ожидания обслуживания требованием 1-го типа:

;

7.  вероятность того, что время ожидания требования 1-го типа больше заданного t:

;

8.  среднее число занятых приборов:

;

9. – среднее число свободных приборов

;

10. Среднее время нахождение требования в системе:

;

11.  коэффициент простоя приборов:

;

12.  коэффициент загрузки приборов:

;

13.  суммарные потери за отчетный период T:

,

 упущенная выгода от потери требования в единицу времени;

 потери от простоя обслуживающего прибора в единицу времени;

 потери, связанные с эксплуатацией прибора в единицу времени.

Пример2. АЗС «Фин-Трейд» имеет четыре заправочных места бензином АИ-92 (две колонки по два заправочных места на каждой). Все автомобили, подъезжающие на АЗС, делятся на 2 типа:

- те, кто обязательно дождутся обслуживания, независимо от наличия и величины очереди;

- те, кто откажется от заправки из-за наличия очереди.

При проведении исследований были выбраны колонки для заправки бензином наиболее востребованной марки - АИ-92 и промежуток времени, когда АЗС испытывает наибольшую нагрузку - с 17 до 21 часа.

При помощи применения математического аппарата теории массового обслуживания изучить, насколько эффективно работает АЗС, а именно, заправочные колонки АИ-92, рассчитать и проанализировать следующие показатели эффективности функционирования:

- среднее число занятых заправочных мест;

- среднее число свободных заправочных мест;

- среднее время ожидания автомобилем обслуживания;

- вероятность «потери» клиента, вследствие очереди;

- среднее время незанятости (простоя) и занятости (загрузки) заправочных мест;

- суммарные потери АЗС за исследуемы промежуток времени;