4.2. Входящий поток требований

Случайным потоком событий называется появление однородных событий в случайные моменты времени.

Рассмотрим временную ось (рис. 4.3). Поток событий представляет собой, вообще говоря, последовательность «случайных» точек на оси, разделенных временными интервалами , , длина которых случайна.

Рис. 4.3

Потоки событий различаются по законам распределения длин интервалов между событиями, по их зависимости или независимости, регулярности и др.

Наиболее изучены потоки, которые обладают следующими свойствами:

а) стационарности – все его вероятностные характеристики не меняются со временем;

б) отсутствия последействия – для любых непересекающихся временных интервалов на временной оси, число событий находящихся на одном интервале, не зависит от того, сколько их и как они оказались на другом интервале;

в) ординарности – практическая невозможность на достаточно малом временном интервале появиться двум и более событиям.

Для практического анализа важно знать, к какому виду можно отнести реальные потоки требований. В анализ входит нахождение функции распределения, управляющей входящим потоком и/или оценка ее параметров. Для этого необходимо:

1. выбрать интервал времени, в течение которого поток требований практически стационарный;

2. весь интервал разделить на достаточное число полуоткрытых непересекающихся промежутков, внутри каждого из которых подсчитывается число поступивших требований;

3. построить гистограмму и найти эмпирическую функцию распределения;

4. выдвинуть гипотезу о теоретическом аналоге эмпирического распределения;

5. используя критерий (Пирсона) и/или Колмогорова сделать вывод о соответствии или несоответствии выдвинутой гипотезы данной выборке;

6. в случае отрицательного результата либо проверяется репрезентативность выборки, или отвергается гипотеза.

1. Пуассоновский поток

В подавляющем большинстве работ по ТМО рассматривается пуассоновский поток требований

, ,

где параметр l определяется как математическое ожидание числа требований, поступающих в СМО в единицу времени (или плотность потока, или интенсивность).

Основание:

а) количественная оценка качества функционирования СМО выражается в простых, относительно других видов потоков, аналитических зависимостях;

б) при расчете показателей эффективности полученные результаты, как правило, отражают наиболее сложный случай (то есть показатели эффективности имеют более надежные значения).

Если пуассоновский поток нестационарный, то есть, , то для расчетов либо весь временной интервал разбивается на n временных отрезков, вообще говоря, не равных, и для каждого из них находятся , где , , либо используются численные методы. В зависимости от поставленной цели выбирается аналитический подход либо численный.

2. Рекуррентный поток

Так называется поток с ограниченным последействием - последовательность моментов поступлений требований (рис. 4.3), образована независимыми случайными величинами с функциями распределения , .

Если все (за исключением может быть ) совпадают, то есть, , , , то последовательность моментов образует процесс восстановления. Следовательно, процесс восстановления – понятие более узкое, чем поток с ограниченным последействием, но шире, чем простейший поток.

Часто поток с ограниченным последействием определяют как поток, у которого случайные интервалы между соседними по времени моментами поступления требований, считаются независимыми случайными величинами.

Стационарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма. Легко понять, что для него все случайные интервалы должны иметь одну и ту же функцию распределения.

Примером потока Пальма является простейший поток (для потока независимого от времени – это геометрическое распределение, для непрерывного времени – это пуассоновский поток).

Случайный стационарный поток, у которого все интервалы имеют нормальное (при ) распределение, является потоком Пальма (очевидно, что последействие здесь имеется).