- •А.Г.Семенов
- •Математические модели в инженерной практике
- •Учебное пособие для студентов механических специальностей
- •Заочной формы обучения
- •I. Оглавление
- •I. Оглавление 4
- •II. Рабочая программа курса "математические модели в инженерной практике"
- •III.Лекционный курс
- •3.1. Основные понятия математического моделирования
- •3.2. Решение нелинейных алгебраических уравнений
- •3.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •3.4. Исследование сеточных функций
- •3.5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.6. Моделирование процессов, приводящих к дифференциальным уравнениям в частных производных
- •3.7. Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •3.8. Краевые задачи для уравнений в частных производных
- •3.9. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
- •3.9. Оптимизационные модели. Основные понятия и определения
- •3.10. Схема решения задач оптимизации
- •3.11. Численные методы решения задач безусловной одномерной оптимизации
- •3.12. Многомерная безусловная оптимизация
- •3.13. Условная оптимизация при решении инженерных задач
- •3.14. Линейное программирование
- •Анализ полученного решения:
- •3.15. Обработка экспериментальных данных
- •IV. Лабораторные работы
- •4.1. Работа 1:Табулирование функций.
- •Табулирование функции одной переменной.
- •Табулирование функции двух переменных
- •4.2.Работа 2: Решение трансцендентных алгебраических уравнений
- •Метод половинного деления интервала
- •Метод последовательных приближений (итераций)
- •3. Использование модуля "Подбор параметра"
- •4.3. Работа 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •1. Метод простых итераций
- •2. Применение модуля "Поиск решения"
- •4.4. Работа 4: Решение задач линейного программирования
- •4.5. Работа 5. Обработка экспериментальных данных
- •V. Контрольные работы
- •5.1. Контрольная работа № 1
- •5.2. Контрольная работа № 2
- •VI. Вопросы к зачету
- •VII.Библиографический список.
4.2.Работа 2: Решение трансцендентных алгебраических уравнений
Цель работы: знакомство с методами решения уравнений общего вида F(x)=0, неразрешимых в квадратурах (см. п. 3.2)
Метод половинного деления интервала
В электронных таблицах Excel описанный в п 3.2. метод реализуется в таблице, содержащей 6 столбцов от A до F (можно, впрочем, обойтись пятью, но таблица из 6 столбцов позволяет более наглядно проследить процесс решения). Столбцы следует выделить и отформатировать с помощью меню “Формат” – “Ячейки” – вкладка “Числа” – в списке форматов числа выбрать “Числовой” и установить число десятичных знаков 5.
Столбцы заполняются следующим образом:
A1:F1 – заголовки:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
a |
b |
c=(a+b)/2 |
F(a) |
F(b) |
F(c) |
2 |
|
|
|
|
|
|
A2:B2 – начальные значения a и b;
C2- заносится формула вычисления полусуммы содержимого ячеек A2 и B2;
D2:F2 – заполняются формулами для вычисления функции F(x) в зависимости от значений ячеек A2:C2 соответственно. При этом можно воспользоваться копированием формулы из ячейки D2 в соседние ячейки строки 2.
A3 – если корень уравнения локализован на отрезке [a,c], заносится прежнее значение а (из ячейки А2); в противном случае – значение с (из ячейки С2). Это делается с помощью логической функции ЕСЛИ, условие локализации имеет вид: F(a)F(c)<0.
В3 – аналогичным образом заполняется значением из ячейки С2, если корень локализован на отрезке [a,c], в противном случае – значением из ячейки В2.
С3:F3 – копируются формулы из предыдущей строки.
Затем диапазон A3:F3 выделяется целиком и копируется нв несколько строк вниз. При этом можно видеть, что значения в ячейках столбцов А, В, С сближаются, что показывает постепенное сужение отрезка локализации корня. Также сближаются (и приближаются к нулю) значения в столбцах D, E, F.
Об окончании процесса определения решения свидетельствует совпадение значений в ячейках столбцов A, B, C. Если ячейки отформатированы с выводом на экран 5 десятичных знаков, совпадение наблюдаемых на экране значений говорит о том, что разница между ними (и, соответственно, погрешность определения корня) не превышает 10-6.
Метод последовательных приближений (итераций)
Уравнение приводится к виду x=f(x). Задается какое-нибудь начальное приближение значения корня x1 (например, из ранее определенного отрезка [a,b]). Это значение подставляется в правую часть уравнения и вычисляется f(x1). Это значение принимается за новое приближение значения корня и опять подставляется в правую часть уравнения, так что на каждом шаге процесса xi+1=f(xi).
Процесс повторяется до тех пор, пока два последовательно вычисленных приближения корня не совпадут с заданной точностью.
Этот процесс организуется гораздо проще, чем процесс половинного деления интервала и быстро сходится, однако сходимость имеет место только при выполнении на отрезке локализации корня условия: f (x)<1.
Простейший вариант реализации итерационного процесса в EXCEL требует использования всего двух столбцов, заполняемых следующим образом
|
A |
B |
1 |
x (заголовок) |
f(x) (заголовок) |
2 |
x1 (число) |
формула вычисления f(x1) |
3 |
=В2 |
копируется формула из В2 |
4-… |
копируются формулы из предыдущей строки вниз на несколько строк… |
|
После копирования последней строки вниз можно видеть, как значения в ячейках столбца А постепенно перестают меняться, т.е., приближения корня сходятся к его точному значению. Окончание процесса определяется визуально, по виду содержимого ячеек.