3.9. Оптимизационные модели. Основные понятия и определения

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта среди всех возможных. Например, выбор наилучшего варианта конструкции, наилучшего способа раскроя материала, наилучшего режима работы оборудования, наилучшего графика перевозок и т. п.

Если в конкретной задаче обозначить независимые параметры через x , x , … , x_n, а зависимый параметр через P, то величину P можно представить, как функцию:

P = f(x , x , … , x ). (51)

Процесс оптимизации будет заключаться в том, чтобы найти такие значения аргументов х₁, х₂, … , х_n из области определения функции Р, при которых эта функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Функцию Р называют целевой функцией. Параметры x , x , … , x в инженерной практике называют проектными параметрами (при решении экономических задач – параметрами плана), область изменения проектных параметров – областью проектирования. Количество n проектных параметров, подлежащих учёту, определяет размерность задач и позволяет разделить их на одномерные (n = 1) и многомерные (n  1).

При решении конкретных задач, как правило, возникает необходимость учитывать дополнительные ограничения, налагаемые на проектные параметры, а также связи между параметрами, отражающие законы природы, сырьевые и материальные ресурсы, спрос и предложения рынка и т.п. Такие задачи называются условными.

Связи и ограничения можно описать в виде ограничений–равенств, ограничений-неравенств, или их совокупности:

Ограничения – равенства: Ограничения – неравенства:

f₁(x₁, x₂, …, x_n) = 0 a₁ q₁(x₁, x₂, …, x_n) b₁

f₂(x₁, x₂, …, x_n) = 0 a₂ q₂(x₁, x₂, …, x_n) b₂ (52)

…………………… ……………………..

f_m(x₁, x₂, …, x_n) = 0 a_k q_k(x₁, x₂, …, x_n) b_k

Ограничения сужают область проектирования и иногда позволяют выразить одни проектные параметры через другие, что позволяет уменьшить размерность решаемой задачи и сокращает время, затрачиваемое на решение.

Пример. Необходимо сконструировать контейнер в форме прямоугольного цилиндра, так, чтобы при заданном объёме длина сварных швов была наименьшей.

Целевой функцией (величиной подлежащей оптимизации) является длина швов L. Она зависит от двух параметров: высоты контейнера H и радиуса R, и определяется по формуле:

L = F ( H, R ) = 4R + H,

где R, H – проектные параметры . Ограничение на объем банки

V₀ = R²H

является ограничением-равенством. Воспользуемся им для уменьшения количество проектных параметров. Этого можно достичь, выразив R через V₀ и H, или, выразив H через V₀ и R.

В первом случае:

и L = F(H) = 4 + H.

Во втором:

H = и L = F(R) = 4 .

Во втором случае оптимизируемая функция оказалась проще, поэтому возьмём её в качестве целевой при естественных ограничениях: H > 0, R > 0.

Теперь можем сформулировать задачу в стандартной форме:

Задача: одномерная.

Проектный параметр: R.

Целевая функция, минимум которой надо найти: L(R)=4R+V₀/R² ._.

Основываясь на данном примере, можно заключить, что для разработки математической модели задачи оптимизации необходимо:

• По смысловому содержанию выделить проектные параметры.

• Записать целевую функцию.

• Записать систему ограничений и с помощью ограничений-равенств максимально снизить количество проектных параметров (размерность задачи).