3.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Модели дискретных статических систем часто описываются системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

(8)

Такие системы возникают при расчетах ферменных строительных конструкций (реакции опор и усилия в узлах фермы), распределений электрических токов в сложных электрических цепях, тепловых балансов смежных помещений в отапливаемых или охлаждаемых зданиях и во многих других случаях. Для решения используются следующие основные методы:

1. Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных.

Выразим из первого уравнения системы (8) неизвестную величину х₁:

. (9)

Затем подставим это выражение в остальные уравнения системы. Тогда во втором уравнении, например, получится:

(10)

Это уравнение уже не содержит неизвестной величины х₁. Преобразовав подобным образом остальные уравнения системы, получаем систему из (n-1) уравнения с (n-1) неизвестным. Затем из этой системы аналогичным образом исключается неизвестная величина х₂, потом х₃ и т.д. На последнем шаге исключается неизвестная величина х_n-1 и остается уравнение для определения х_n. Обратным ходом по значению х_n находят х_n-1 , затем х_n-2 и т.д., вплоть до х₁, определяемого с помощью (9).

Метод Гаусса всегда позволяет найти решение СЛАУ, если оно существует, но он является очень трудоемким. Поэтому его используют, если имеется готовая компьютерная программа его реализации. Также этот метод используется для нахождения решения в различных прикладных пакетах математических расчетов.

2. Методы последовательных приближений.

Предварительно систему необходимо привести к виду:

. (11)

Наиболее просто это можно сделать, выразив из каждого уравнения соответствующее значение x, т.е., принимая:

(12)

Затем выбираются начальные значения х_i , подставляются в правые части уравнений (2) и вычисляются следующие значения, опять подставляются в правые части и т.д., до тех пор, пока два последовательно вычисленных значения любого из неизвестных не окажутся совпадающими друг с другом с заданной точностью. Процесс, таким образом, в принципе не отличается от итерационного процесса решения трансцендентных алгебраических уравнений

В качестве начальных значений x_i обычно принимаются значения свободных членов уравнений d_i.

Существует две разновидности метода последовательных приближений. В методе простых итераций вычисляются сразу все n значений неизвестных и все разом подставляются в правые части уравнений (11). В методе Зейделя каждое вычисленное новое значение очередного неизвестного сразу же начинают подставлять в правые части уравнений вместо старого, что увеличивает скорость сходимости процесса.

Недостатком методов последовательных приближений является то, что итерационный процесс, как правило, сходится только при выполнении определенных условий. В случае системы линейных алгебраических уравнений условие сходимости таково:

(i = 1 … n) (13)

или для исходной системы (8):

(i=1 … n) (14)

Проверка выполнения условий сходимости (14) проводится перед преобразованием системы (8). В случае нарушения условий уравнения меняются местами или уравнение, для которого условие сходимости нарушается, заменяется на линейную комбинацию его с другими уравнениями системы, для которой условие сходимости выполняется. Например, в системе:

(15)

условие сходимости нарушено для второго уравнения. Умножим второе уравнение на 2 и вычтем из полученного уравнения первое уравнение. Получим:

, (16)

или

. (17)

Для такого уравнения условие сходимости выполняется:

(18)

Методы последовательных приближений позволяют найти решение СЛАУ довольно быстро, поэтому их часто применяют для расчетов вручную. Достаточно легко также запрограммировать процесс решения для компьютерного расчета.