23 Уравнение прямой в пространстве. Векторное, каноническое уравнение прямой.

Данная система задает уравнения прямой в пространстве, как систему пересечения двух плоскостей. S(m,n,p) – направленный вектор прямой, (х-а; у-в; z-с); || ;

= ; =λ откуда = λ( );

= – векторное уравнение прямой, в параметрической форме имеет вид :

, где tЄR – параметр

каноническое уравнение, где А(x₀; y₀; z₀) – заданная точка прямой, а вектор S(m,n,p) – направленный вектор прямой.

24 Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью

Пусть две прямые заданы в каноническом виде : и

Направленные векторы данных прямых S₁(m₁,n₁,p₁) и S₂(m₂,n₂,p₂)

, откуда

Углом между прямой и плоскостью будем считать один из смежных углов между прямой и её проэкцией на эту плоскость:

Q : Ax+By+Cz+D=0; L :

откуда

25 условия параллельности и перпендикулярности прямых, прямой и плоскости условие параллельности прямых – прямые L₁ и L₂ будут параллельными, если координаты соответствующих им направляющих векторов будут пропорциональными - если прямые заданы в канонической форме. (это для прямой в пространстве)

Прямые l₁ и l₂ будут параллельными, если координаты нормальных векторов n₁ и n₂ будут пропорциональными .(прямые заданы общим уравнением прямой (для прямой на плоскости))

Если прямые заданны уравнением с угловым коэффициентом к, то необходимым условием параллельности таких прямых является равенство этих коэффициентов.( для прямой на плоскости)

Условие перпендикулярности прямых - прямые L₁ и L₂ будут перпендикулярными, если скалярное произведение направляющих векторов равное нулю m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂ = 0 - если прямые заданы в канонической форме. (это для прямой в пространстве)

Прямые l₁ и l₂ будут перпендикулярными, если скалярное произведение нормальных векторов n₁ и n₂ будет равно 0 : А₁А₂+В₁В₂=0.(прямые заданы общим уравнением прямой (для прямой на плоскости))

Если прямые заданны уравнением с угловым коэффициентом к, то необходимым условием перпендикулярности таких прямых является : к₂= - .( для прямой на плоскости)

Прямая и плоскость –

|| прямой L и плоскости Q – скалярное произведение нормального вектора и направляющего вектора плоскости должно равняться нулю. (то есть данные векторы должны быть перпендикулярны между собой)

то есть Am+Bn+Cp=0

_|_ прямой L и плоскости Q – вектор нормаль должен быть параллелен направляющему вектору плоскости. то есть

26 Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида Ax2+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом. 

Отличительные особенности окружности в общем уравнении:

- коэффициенты при х² и у² – равны;

- отсутствует член, содержащий произведение ху;

уравнение

для 1) , для 2) . соответственно так же и для оси Х.

Эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокуса есть величина постоянная и равная 2а.

r₁ и r₂ – фокальные радиусы точки М F₁ и F₂ - фокусы

и

каноническое уравнение эллипса :

а и b – полуоси эллипса , точки А₁, А₂, В₁, В₂ – вершины эллипса; ОХ и ОУ – главные оси эллипса, ОХ – фокальная ось; О – центр эллипса; - фокусы эллипса; при а=в имеем уравнение круга.

эксцентриситет эллипса

Директрисы эллипса –

Дилектрисы – прямые, перпендикулярные оси Х, находящиеся на равном расстоянии от оси эллипса.