43.Однородные системы уравнений, матричный метод решения систем уравнений

Система уравнений называется однородной, если B=0, т.е система уравнений имеет вид АХ=0.

Однородная система всегда совместима, т.е имеет решение Х=0. Система всегда имеет нулевое решение. Если определитель системы не равен 0, то Это решение единственное , если же определитель системы равен 0, то кроме нулевого решения существует бесчисленное множество решений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц. Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы:   A =     ;        B =       ;     X =     .

Систему уравнений можно записать: A*X = B. Сделаем следующее преобразование: A^-1*A*X = A^-1*B, т.к.   А^-1*А = Е, то  Е*Х = А^-1*В Х = А^-1*В Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

 Пример. Решить систему уравнений:   Х =  , B =   , A =    Найдем обратную матрицу А^-1. D = det A =  5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁ =   = -5;                  M₁₂ =   = 1;                   M₁₃ =     = -1; M₂₁ =                 M₂₂ =                      M₂₃ =    M₃₁ =                    M₃₂ =                       M₃₃ = 

 

                      A^-1 =   ;

Cделаем проверку: A*A^-1 =   =E.

Находим матрицу Х. Х =  = А^-1В =   *  =   .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

44. Метод Гаусса

Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Определение. Элементарные преобразования системы уравнений — это:

1. Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;

2. Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к любому i-му уравнению любого j-то уравнения, умноженного на любое число.

Определение. Переменная x_i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений — является разрешенной.

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

1. Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x_i входит с коэффициентом 1;

2. Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x_i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x_i, и равносильную исходной;

3. Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;

4. Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;

2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.