32 Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид – поверхность, описываемая уравнением вида

YOZ : y²=2pz (относится к самому первому рисунку)

Вращаем вокруг оси OZ

х² + у²= 2pZ – параболоид вращения

x=const – парабола у= const– парабола

z= const – окружность

1. X=h

парабола

2. Y=h парабола

3. Z=h

откуда эллипс

3 4.Двуполостный гиперболоид (рис. 4.21) 

Каноническое уравнение:

a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Асимптотический конус:

Наименование гиперболоид происходит от того,

что среди сечений этой поверхности есть гиперболы.

Эти сечения представляются уравнениями:

Поверхность состоит из двух разобщенных полостей, отсюда и название — Двуполостный гиперболоид

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо  .

3 5. Гиперболический параболоид

Поверхность, представляемая уравнением

при (p > 0, q > 0), носит название гиперболический параболоид.

Сечения плоскостями XOZ и YOZ (главные сечения — это параболы).

(2)

(3)

Параболы (2 и 3) обращены вогнутостью в противоположные стороны.

Поверхность имеет седлообразный вид. Гиперболический параболоид не имеет центра. Он симметричен относительно плоскостей XOZ и YOZ и относительно оси OZ. Прямая OZ называется осью гиперболического параболоида. Гиперболический параболоид не является поверхностью вращения.

36. Комплексные числа, основные понятия

Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. Мнимые числа), — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается C. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица.

Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен   имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел R, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена 

37.Действия над комплексными числами

• Сравнение означает, что  (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

• Вычитание

• Умножение

Деление

38.Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль   и аргумент    ( ,  ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера где   — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства: ; ;

Операции над комплексными числами в показательной форме.

Пусть   и , тогда ; ; ;