27 Гипербола.

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная, равная 2а.

r₁ - r₂ = 2а

Простейшее уравнение гиперболы

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a² + b² = c².

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x² - y² = a².

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями

28 Парабола

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и от директрис.

; ; y²=2px – уравнение параболы

Р – называется параметром параболы.

Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы, до её фокуса. Координаты фокуса F( ; 0) (фокус параболы лежит на ее оси симметрии).

Уравнение директрисы – Х= - .

29 Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямой, параллельной какому-либо вектору и скользящей по всем точкам некоторой кривой второго порядка.

Прямая, параллельная вектору, называется образующей.

Кривая второго порядка называется направляющей.

Свойства цилиндрических поверхностей :

Если некоторая точка принадлежит поверхности, описываемой уравнением F(x,y) = 0, то все точки прямой, проходящей через эту точку || оси OZ, так же принадлежат цилиндрической поверхности.

Уравнение в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, || оси OZ направляющей является эллипс с полуосями а и в.

В частности уравнение х² + у²= R² в трехмерном пространстве определяет круглый цилиндр.

Уравнение y²=2px в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, || оси OZ, направляющей является парабола.

30 Конические поверхности

Конические поверхности – это поверхности, образованные перемещением прямой, закрепленной в одной точке и пересекающей все точки направляющей.

Сечения конической поверхности

Уравнения конусов второго порядка

31 Поверхности вращения – эллипсоид вращения

Поверхность вращения – поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекаетось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси – цилиндрическая, если скрещивается с осью – однополостный гиперболоид, гиперболоид вращения.

Эллипсоид вращения – это фигура вращения в трехмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей .

Пусть в плоскости УОZ задан эллипс . Вращаем этот эллипс вокруг оси Z, образуется эллипсоид вращения - уравнение эллипсоида вращения.

уравнение поверхности вращения всегда содержит одинаковые коэффициенты при каких-либо двух координатах.

В сечении, _|_ оси вращения – окружность.