7.3.3. Цифровая фильтрация

Цифровые фильтры, как и аналоговые, предназначены для преобразования сигналов из одной формы в другую, более благоприятную с точки зрения передачи полезного сигнала.

По техническим причинам вместо сигнала u(t) обычно реги­стрируются равномерно распределенные отсчеты u_n функции u(t). Отсчеты регистрируются с бесконечной точностью, а округляются или урезаются до сравнительно небольшого количества цифр. Эта процедура называется квантованием отсчетов. Именно квантованные отсчеты подвергаются дальнейшей обработке. Цель обработки – связь функции и_п с наблюдаемыми отсчетами и понимание цифровых фильтров как главного инструмента обработки информации.

Необходимо подчеркнуть, что отсчеты предполагаются равномерно распределенными. В замерах и_п содержатся ошибки или помехи. В большинстве случаев это предположение приблизительно выполняется.

Предположим, что последовательность чисел {u_n} является именно таким множеством равномерно распределенных измерений некоторой величины u(t), причем п - целое, a t - непрерывная переменная. Как правило, через t обозначается время, но это не обязательно. Используем запись вида u_n=u(n).

Практические возможности цифровых фильтров в настоящее время значительно превосходят круг задач, которые возникают в электротехнике. Поэтому необходимо пересмотреть и снять те из ограничений, которые были естественными в электротехнике того времени, когда цифровые фильтры возникали из классических электрических аналоговых фильтров. Обратим внимание на следующее обстоятельство. Иногда мы даем определения, отличные от встречающихся в трудах по электротехнике. Это неизбежно, так как мы располагаем более широкой областью применения цифровых фильтров, включающей численный анализ, математическую статистику и др.

Изучение фильтров базируется на: 1) рядах Фурье, дискретных и непре­рывных; 2) использовании интеграла Фурье.

Дискретные преобразования Фурье

Пусть х(пТ)—периодическая последовательность с периодом NT (период -N отсчетов), т. е. x(nT)=x{nT+mNT), m - целое. Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называют пару взаимно-однозначных преобразований:

(7.8)

(7.9)

где —основная частота преобразования, причем (7.8) называют прямым ДПФ, а (7.9) — обратным ДПФ. Вводя обозначение для так называемого поворачивающего множителя

записывают ДПФ и ОДПФ в форме

.

Дискретное преобразование Фурье X(k), как и сама после­довательность х(п), является периодической функцией по аргументу k с периодом N, так как , где т - целое. Дискретное преобразование Фурье может быть использовано и для представления последовательности х(пТ) конечной длины N, определенной при п=0, 1, 2....N - 1 и равной нулю вне интервала [0, N - 1 ].

Прямое Z-преобразование

В задачах анализа и синтеза линейных дискретных систем широко применяются методы Z-преобразования. Одностороннее Z-преобразование последовательности х(пТ), п=0, 1, 2, ..., опре­деляется рядом

, (7.10)

где - комплексная переменная. Множество значений z, где ряд (7.10) сходится, называется областью сходимости; для равномерной сходимости ряда достаточно, чтобы . Область сходимости определяется кругом радиуса R в Z-плоскости, вне которого ряд (7.10) сходится.

Свойства Z-преобразования

Ниже приводится ряд важных и широко используемых свойств и теорем Z-преобразования, непосредственно вытекающих из определения (7.10) или легко доказываемых.

Линейность. Если последовательности х₁(пТ) и х₂(пТ) имеют соответственно Z-преобразования X₁(z) и X₂(z), а₁, а₂ - постоянные, не зависящие от п коэффициенты, то y(nT)=a₁ x₁ (nT) + a₂ x₂ (nT) имеет изображение (Z-преобразование) Y(z)=a₁ X₁ (z)+a₂X₂ (z).

Сдвиг последовательности. Если Z{х (nT)} = X(z) и х(пТ)=0 при п<0, то у(nT) = х (nT— тТ) имеет Z-преобразование Y(z)=Z{x(nT-mT)}= z ^-mX(z).

Свертка последовательностей. Пусть X₁(z)=Z{x₁(nT)}, X₂{z)=Z{x₂(nT)}. Свертка последовательностей x₁(nT) и x₂(nt)

имеет Z-преобразование Y(z), равное произведению Х₁(z) и X₂(z):

Y(z) = X₁(z)X₂(z).

Перемножение последовательностей. Если X₁(z)=Z{x₁(nT)} и X₂(z)=Z{x₂(nT)}, то последовательность y(nT)=x₁(пТ)х₂(пТ) имеет Z-преобразование

,

где контур с лежит внутри пересекающихся областей сходимостей Xi(v) и X₂(z/v).

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование ставит в соответствие функции комплексной переменной X(z) решетчатую функцию (последовательность) x(nT)=Z ^-1 {X(z)}, определяемую по формуле:

,

где с - контур, расположенный в области сходимости X(z)z^n-1 и охватывающий начало координат в Z-плоскости.

Связь между Z-преобразованием и Фурье-преобразованием дискретных сигналов

Из сравнения Z-преобразования и Фурье-преобразования дискретных сигналов х(пТ), п=0, 1, 2, ..., видно, что при условии сходимости соответствующих рядов спектр дискретного сигнала может быть получен путем подстановки z = e ^jωT в Z-образ этого сигнала. Уравнению z= e ^jωT соответствуют точки, расположенные на окружности радиусом r = 1 (единичная окружность) в комплексной z-плоскости (рис. 7.12). Поэтому можно сказать, что спектр сигнала - это Z-образ, рассматриваемый на единичной окружности в z-плоскости, т.е.

Рис.7.12. Z-плоскость

Передаточной функцией линейной дискретной системы фильтра H(z) называют отношение

H(z)=Y(z)/X(z),

где X(z) — Z-изображение входной последовательности х(пТ) системы, а Y(z)—Z-изображение выходной последовательности у(пТ) системы при нулевых начальных условиях.

Цифровой фильтр

Цифровой фильтр представляет собой линейную комбинацию входных x(t) и выходных y(t) сигналов. Линейный дискретный фильтр описывается уравнением

, (7.11)

где N, M – постоянные вещественные числа;

n = 0, 1, 2 … a_m;

b_k – вещественные и комплексные коэффициенты, не зависящие от входного и выходного сигналов.

Полагая a₀ = 1, из (7.11) получаем

. (7.12)

Если хотя бы один коэффициент зависит от переменной n, то (7.12) описывает «параметрический» фильтр, т.е. фильтр с переменными параметрами. В устройствах РЗА используют, как правило, фильтры с постоянными коэффициентами (a_m , b_k не зависят от n). Фильтры, описываемые (7.12), называют рекурсивными, т.е. выходная последовательность зависит от входной и выходной последовательностей. В частном случае a_m = 0, m = 1, 2 … из (7.12) получаем

(7.13)

т. е. значение выходной последовательности в любой момент времени определяется лишь значениями входной последовательности. Фильтры, рассчитанные по (7.13.) называются нерекурсивными.

Реальным ЦФ свойственны нелинейные эффекты квантования по уровню и округления результатов. На этапе аппроксимации фильтры принимаются дискретными линейными устройствами и характеризуются передаточной функцией

(7.14)

Выполнив преобразование , получим

. (7.15)

Для ЦФ коэффициент передачи представляет собой отношения Z-преобразования y(z) дискретного сигнала y(kT) на выходе ЦФ к Z-преобразованию x(z) дискретного сигнала x(kT) на входе, где k – номер выборки, Т – интервал дискретизации входного сигнала.

Модуль выражения (7.14) является АЧХ для ЦФ, основная особенность которой, заключается в ее периодичности, обусловленной периодичностью функции .

Простейший вид фильтров - нерекурсивные фильтры, определяемые формулой:

, (7.16)

где Ck - постоянные фильтра;

- входные данные;

- выходные сигналы.

На рис. 7.13 поясняется техника вычислений нерекурсивного фильтра по формуле (7.16). Представьте себе две полоски бумаги. На одной полоске находятся значения данных u_n-k, записанные одно под другим. На второй полоске находятся коэффициенты фильтра c_k, записанные в обратном порядке, т. е. снизу вверх. Значение с нуле­вым индексом находится напротив значения с индексом п. Результат является суммой произведений вида C_kU_n-k. Вычислив одно значение, передвинем одну из полосок, например, полоску с коэффициентами, на клеточку вниз и вычислим новый набор произведений, сумма которых даст новое значение на выходе фильтра y_n+1. Каждое выходное значение - это результат сложения всех произведений, образующихся после надлежащего смещения двух членов с нулевыми индексами. В ЭВМ именно данные передвигаются относительно совокупности коэффициентов {c_k}.

Описанный процесс является основным и называется сверткой наблюденной последовательности с коэффициентами. Не­важно, какая из полосок будет записана в обратном порядке, результат окажется тем же самым. Следовательно, свертка u_n с коэффициентами c_k равнозначна свертке коэффициентов c_n c последовательностью данных.

На практике число произведений, с которыми приходится иметь дело, должно быть конечным. Обычно предполагается, что длина ряда ненулевых коэффициентов с_k короче длины ряда данных у_п. Иногда полезно считать коэффициенты с_k частью бесконечного ряда, содержащего множество нулевых коэффициентов. Обычно же более предпочтительно считать множество {c_k} конечным и не принимать в расчет нулевые члены, находящиеся за его пределами. Тогда уравнение (7.16) примет вид

. (7.17)

Итак, вторая полоска на рис. 1.2, состоящая из коэффициен­тов C_k, короче первой, состоящей из данных наблюдений и_п.

Часто встречаются различные варианты этой формулы, кото­рые должны быть знакомы большинству читателей. Подобных формул настолько много, что их простой перечень составил бы целую книгу. В случае пяти ненулевых коэффициентов C_k с одинаковыми значениями имеем 5-точечную сглаживающую формулу

.

Нерекурсивные фильтры встречаются во многих областях и в результате получили различные названия, например, фильтр с конечной импульсной реакцией, поперечный фильтр, фильтр с ответвленной линией задержки, фильтр скользящих средних.

Будем пользоваться названием нерекурсивные фильтры, так как оно самое простое для понимания и противопоставляется названию рекурсивный фильтр, которое мы вскоре введем.

Если для вычисления выходных значений y_п используются не только значения исходных данных, но и выходные значения, то получаем формулу вида

, (7.18)

где c_k и d_k - константы.

В этом случае принято ограничивать диапазон ненулевых коэффициентов текущими и прошлыми значениями исходных данных и_п и только прошлыми выходными значениями у_п. Кроме того, число практически вычисляемых коэффициентов должно быть конечным. Поэтому формула обычно имеет вид

. (7.19)

Некоторые из коэффициентов в этой формуле могут равняться нулю. Такие фильтры называются рекурсивными (рис. 7.12). К ним относятся: фильтр с бесконечной импульсной реакцией; лестничный фильтр; решетчатый фильтр; волновой цифровой фильтр; авторегрессивный фильтр скользящих средних; авторегрессивный фильтр интеграла скользящих средних.

Очевидно, что рекурсивный фильтр может запоминать все прошлые данные, так как значение у_п-1 в правой части уравнения участвует в вычислении нового значения у_п и, следовательно, в вычислении значений y_n+1, y_n+2 и т. д. Таким путем начальное условие интегрирования хранится в течение всего процесса вычисления интеграла.

Нами не рассмотрены рекурсивные фильтры, использующие будущие значения, т. е. значения, которые наступят позже вы­числяемого значения. Если бы мы захотели использовать буду­щие значения, существующие позже текущего у_п, пришлось бы решать систему линейных алгебраических уравнений, а это связано с большим объемом вычислений. Иногда затрачивае­мые усилия оправданы, но чаще мы располагаем только вычисленными в прошлом значениями и текущим значением данных. Такие фильтры называются причинными, так как если время - независимая переменная, то они реагируют только на прошлые события (причины) и не реагируют на будущие.

Однако следует заметить, что все чаще сведения, касающиеся какого-либо эксперимента, записываются на магнитную ленту или другое средство хранения до начала их обработки.

В подобных ситуациях ограничиваться причинными фильтрами неразумно. Будущие значения налицо. Конечно, существует много ситуаций, когда поступающие данные должны сразу же преобразовываться и использоваться, и в таких случаях естест­венно ограничиваться причинными фильтрами.

Необходимо еще раз сказать, что коэффициенты фильтра c_k и d_k предполагаются постоянными в течение большей части вре­мени. Такие фильтры называются фильтрами, инвариантными во времени. Они наиболее широко применимы на практике. Иногда оказываются полезными переменные во времени филь­тры, далее мы кратко коснемся их.

Наконец, нужно ясно понимать, что все вычисления должны проводиться с числами конечной длины. Процесс квантования влияет не только на входные числа, он может повлиять на все внутренние (по отношению к фильтру) арифметические действия. Следовательно, в окончательных выходных числах у_п содержатся ошибки округления. Обычно удобно считать, что арифметические операции выполняются с бесконечной точно­стью, и направлять усилия на совершенствование входных данных u_n. Более того, тонкости организации арифметических опе­раций могут снизить точность выходных чисел.

Передаточная характеристика рекурсивного фильтра равна

. (7.20)

Передаточная характеристика нерекурсивного фильтра имеет вид

. (7.21)

В соответствии с выражениями (7.20) и (7.21) может быть составлена структурная схема фильтра. Структурная схема может содержать элементы логики: сложение сигналов, умножение сигналов, задержка сигналов.

Рис.7.15. Элементы логики

В структурной схеме фильтра указывают, в какой последовательности и какие операции в нем производятся. На рис. 7.16 приведена структурная схема нерекурсивного фильтра.

Рис. 7.16. Структурная схема нерекурсивного фильтра

Важнейшей временной характеристикой ЦФ является его импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы h(пТ) на единичный импульс  (пТ) при нулевых начальных условиях. Единичный импульс  (пТ) является одной из последовательностей, играющих важную роль в теории цифровой обработки сигналов. Он определяется как последовательность со значением:

Единичный импульс, сдвинутый во времени на тТ, т. е. на т циклов дискретизации описывает­ся соотношениями

.

Импульсной характеристикой цифровой системы h(пТ) является выходная последовательность у(пТ), возникаю­щая при входной последовательности в виде единичного импульса (пТ). Цифровые фильтры принадлежат к клас­су линейных инвариантных к сдвигу цифровых систем, для которых справедлив принцип суперпозиции. Инвариантность систем к сдвигу характеризуется следующим свойством: если у(пТ) – реакция на х(пТ), то у(пТ- тТ) – реакция на х(пТ—тТ). Для указанных систем связь между входной и выходной последовательностями определяется формулами свертки

или

.