3. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.Электростатического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Теорема Гаусса Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную e₀.

Рассчитаем поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность. Выбираем точечный заряд q, находящийся в ее центре,

По теореме Гаусса это справедливо для замкнутой поверхности любой формы.

Если замкнутая поверх­ность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в повер­хность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности лю­бой формы, если она замкнута и заключа­ет в себя точечный заряд q, поток вектора Е равен q/₀, Следовательно,

Формула (81.2) выражает теорему Га­усса для электростатического поля в ваку­уме: поток вектора напряженности элек­тростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность ра­вен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, делен­ной на ₀. Если заряды «размазаны» с некоторой объемной плотностью =dQ/dV, то сум­марный заряд и

электростатического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотно­стью =dq/dS (заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. Выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра, основания которого параллельны заря­женной плоскости, а ось перпендикулярна ей

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cos=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую повер­хность цилиндра равен нулю Ф_Е=0, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания E_n совпадает с Е), т.е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилин­дрической поверхности, равен q=S. Согласно теореме Гаусса, 2ES = S/₀, откуда E=/(2₀).

Вывод: напряженность не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Следовательно, по теореме Гаусса,   и напряженность электростатического поля внутри полой равномерно заряженной сферы будет равна нулю.

 Электростатическое поле шара: Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью . 

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда   , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра): Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью   . Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса   Поток вектора напряженности через эту поверхность По теореме Гаусса Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью: {\displaystyle d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV} .