5. Понятие о деформациях (линейных и угловых, абсолютных и относительных) и перемещениях. Общий вид условия жесткости.

Коэффициент Пуассона— величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец. Коэффициент полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала

Перемещение — изменение положения точки тела в пространстве вследствие изменения его формы и размеров под действием нагрузки. 

- условие жесткости

6. Осевое растяжение и сжатие прямого стержня. Определение. Продольные силы. Построение эпюр продольных сил.

Осевым (центральным) растяжением или сжатием называют такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникают только продольная сила N(растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны 0.

Построение эпюры продольных сил

Продольная сила N в сечении численно равна алгебраической сумме проекций на ось Z всех внешних сил, включая и опорные реакции, действующие на отсеченную часть бруса, взятых со знаком плюс, если они направлены от сечения (растяжение), и минус – если к сечению (сжатие):

(2.2)

Знак продольной силы определяется по схеме: растяжение – со знаком «+»,сжатие – со знаком «–» .

Рис. 2.2

Пример 2.1. Для бруса (рис. 2.3, а) построить эпюру продольных сил N.

1. Определим реакцию заделки.

Рис. 2.3

2. Разобьем брус на два участка, и, применив метод сечений, найдем продольные силы на каждом из них, рассматривая равновесие отсеченной части. Во избежание ошибки следует внутреннее усилие принимать всегда положительным (направлять от сечения).

Участок I

На первом участке продольная сила постоянна и отрицательна.

Участок II

q

На этом участке продольная сила изменяется по линейному закону.

при

при

По найденным значениям продольных сил на отдельных участках строим эпюру N (рис. 2.3, б).

Примечание

1. Для бруса, закрепленного с помощью заделки, для построения эпюры, не обязательно определение опорных реакций, если оставлять часть бруса, которая не закреплена.

2. Знак усилия , получаемый из решения, позволяет установить вид деформации – растяжение или сжатие.

3. На участке I, где , эпюра N – прямая, параллельная оси ).

4. На участке II, где , эпюра N – наклонная прямая (N изменяется по линейному закону).

5. В сечениях, где приложены внешние силы, внутренняя сила меняется скачкообразно, причем размер скачка равен соответствующей внешней силе. Так, скачок на уровне заделки характеризует значение реакции (Н=5 кН), скачок на свободном конце – значение внешней силы (F=3 кН).

7. Напряжение в поперечных и наклонных сечениях прямого стержня при растяжении (сжатии). Построение эпюр нормальных напряжений. Условие прочности. Закон Гука. Модуль упругости.

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающим в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью :

Вывод формул для напряжений в стержнях будем всегда проводить по приведенной ниже схеме:

1. Статическая сторона задачи – запись интегральных уравнений равновесия;

2. Геометрическая сторона задачи – изучение деформаций на основе опыта и гипотез;

3. Физическая сторона задачи определяется законом Гука;

4. Синтез – совместное решение полученных уравнений.

Рассмотрим стержень, нагруженный силой F (рис. 2.4 а). Для произвольного сечения z (рис. 2.4, б) статическая сторона задачи выражается уравнением

(2.3)

где А – площадь поперечного сечения бруса.

Рассмотрим модель стержня (рис. 2.4, в), на боковой поверхности которого нанесена ортогональная сетка из продольных и поперечных линий.

Рис. 2.4

После нагружения можно заметить, что поперечные линии смещаются вдоль продольной оси, оставаясь прямолинейными и перпендикулярными ей. Это подтверждает гипотезу плоских сечений Я. Бернулли:

Сечения бруса, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси в процессе деформации.

Продольные линии (волокна) удлиняются на одну и ту же величину (рис. 2.4, в), и их относительное удлинение одинаково.

Геометрическая сторона задачи выражается уравнением

. (2.4)

Физическая сторона задачи заключается в установлении зависимости деформаций от напряжений. При упругих деформациях эта зависимость линейна, и, как известно, называется законом Гука:

или , (2.5)

где для однородных и изотропных материалов, следовательно, .

Из уравнений (2.3-2.5) получаем

. (2.6)

Окончательно

. (2.7)

В поперечном сечении бруса при растяжении (сжатии) возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади сечения (рис. 2.4, б).

Формула (2.7) справедлива лишь для сечений, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки. При расчетах руководствуются принципом Сен-Венана, который можно изложить так: способ приложения внешних сил влияет на распределение напряжений только в области их приложения.

Поэтому, нарушение равномерности распределения напряжений вблизи мест приложения нагрузки, носит местный характер. При расчетах эта часть стержня исключается из рассмотрения, что позволяет пользоваться формулой (2.7).

Исследования показали, что равномерное распределение напряжений по площади сечения на основании (2.7), будет только в тех случаях, когда по длине стержня поперечные сечения постоянны. Резкие изменения поперечного сечения (отверстия, канавки) приводят к неравномерному распределению напряжений, вызывают концентрацию напряжений. При наличии ослабления в пластине (например, заклепочными отверстиями, рис. 3.6) следует вводить площадь нетто .

Рис. 2.5

На основе предположения об отсутствии концентрации напряжений по формуле (2.7) вычисляется среднее напряжение в ослабленном сечении пластины:

. (2.8)

Например, для сечения а–а, пластины (рис. 2.5) , где – размер пластины в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа.

Напряжения в наклонных сечениях

Рассечем растянутый стержень плоскостью, наклоненной к поперечному сечению под углом (рис. 2.6, а), и рассмотрим нижнюю часть стержня (рис. 2.6, б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения параллельны оси бруса, а внутренняя сила , возникающая в сечении, равна F. Здесь - площадь наклонного сечения равная . Следовательно, , откуда

,

где – нормальное напряжение в поперечном сечении.

Выделим малый элемент в наклонном сечении (рис. 2.6, а,б) и раскладывая р по нормали и касательной к сечению (рис. 2.6, в), находим и . С учетом выражения для р получаем

= , (2.9)

(2.10)

Следовательно, при растяжении (сжатии) в наклонных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения.

Рис. 2.6

Из формул (2.9) и (2.10) следует:

1. В поперечных сечениях, т.е. когда имеем

Нормальные напряжения в поперечных сечениях будут наибольшими, а касательные напряжения равны нулю.

2. В продольных сечениях, т.е. при нормальные и касательные напряжения равны нулю:

Отсюда следует, что продольные слои не испытывают взаимного давления и взаимного сдвига при растяжении и сжатии.

3. На площадках, наклоненных под углом , имеем

,

т.е. касательные напряжения будут максимальными, а нормальные напряжения будут им равными.

Следует отметить, что на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по абсолютной величине. Действительно, по формуле (2.10) получаем:

,

т.е.

. (2.11)

Формула (2.11) выражает закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках, составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра.

Этому можно дать наглядное толкование, если из растянутого стержня в окрестности некоторой точки выделить бесконечно малый прямоугольный элемент abcd (рис. 2.6, а), к граням которого приложены напряжения, заменяющие действия отброшенных частей тела (рис. 2.7). Касательные напряжения и должны быть такой величины и иметь такое направление, чтобы моменты их пар взаимно уравновешивались.

Рис. 2.7

Причем для одной и той же точки напряжения различны в зависимости от ориентации секущей площадки.

Построение эпюр нормальных напряжений:

Условие прочности: Основные задачи расчетов на прочность:

• определение оптимальных геометрических размеров элементов конструкций, обеспечивающих их прочность;

• определение несущей способности, т. е. установление допускаемых или предельных нагрузок, которые может выдержать конструкция, не разрушаясь;

• обеспечение способности конструкции удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям.

Для решения этих задач разработано три метода расчетов:

1. Расчет по допускаемым напряжениям;

2. Расчет по разрушающим (предельным) нагрузкам;

3. Расчет по предельным состояниям.

Расчет по допускаемым напряжениям

Долгое время, начиная с учения Галилея, господствовало представление о предельной несущей способности конструкции, согласно которому расчет проводился по нагрузкам, соответствующим моменту разрушения. В 1826 г. Навье предложил метод расчета по нагрузкам, реально действующим в элементах конструкции. Метод основан на определении напряжений от действующих нагрузок и сопоставлении их с допускаемыми. Величина допускаемого напряжения должна составлять некоторую часть от величины напряжений, являющихся опасными (предельными) для материала при данных условиях его работы в конструкции.

Опасными (предельными) напряжениями , называются напряжения от действия внешних сил, вызывающие потерю несущей способности конструкции, т.е. разрушение или возникновение больших деформаций (lim- опасное значение, от англ. limit).

Допускаемыми , называются максимальные напряжения, безопасные для работы конструкции, детали. Действующие в деталях машин и элементов конструкций напряжения , называют эксплуатационными, в опасных поперечных сечениях они достигают максимальных значений , .

Условие прочности по допускаемым напряжениям предполагает, что напряжение в опасном сечении бруса не должно превышать допускаемое:

, (2.12)

Допускаемые напряжения равны опасным напряжениям , деленным на коэффициент запаса прочности n:

, (2.13)

Для хрупких материалов (бетон, чугун) за опасные напряжения принимают предел прочности . Тогда допускаемые напряжения:

при растяжении

при сжатии . (2.14)

Для пластичных материалов (низкоуглеродистые, низколегированные стали) за опасные напряжения принимают предел текучести . Допускаемое напряжение:

. (2.15)

Для бетона и железобетона коэффициент запаса по пределу прочности ; для древесины для строительной стали Ст3 коэффициент запаса по текучести .

Коэффициент запаса прочности является обобщенным коэффициентом. Необходимость введения коэффициента запаса прочности и его уровни значения определяются:

- статистическим разбросом экспериментального определения предела прочности и предела текучести;

- невозможностью точно установить действующие нагрузки;

- неточностью принятых методов расчета;

- неточностью изготовления;

- качеством металла;

- долговечностью эксплуатации и ответственностью конструкции.

Учет динамического и переменного характера нагрузок для машиностроительных деталей, неопределенность самих нагрузок и неясность их влияния на материал конструкций приводит к необходимости применения повышенных коэффициентов запаса прочности.

Соответствующее условие прочности по допускаемым напряжениям для бруса, работающего на растяжение (сжатие):

, (2.16)

где – площадь сечения бруса (с учетом ослабления), – продольная сила в опасном поперечном сечении бруса. Данное условие позволяет проводить три вида расчета на прочность:

1. Проверка прочности (проверочный расчет). Проводят непосредственно по данной формуле (2.16). По известным и находят и сравнивают его с . Делают вывод: прочность обеспечена, либо прочность не обеспечена.

2. Подбор сечения (проектный расчет). По заданным и устанавливают необходимую площадь сечения:

. (2.17)

3. Определение несущей способности. По известным и устанавливают значение допускаемой продольной силы:

. (2.18)

Расчет по допускаемым напряжениям ведется в пределах упругих деформаций. Применяется при проектировании деталей машин и механизмов.

Закон Гука. Модуль упругости: Английский ученый Роберт Гук в 1678 г. на основе экспериментов с проволокой и пружинами сформулировал закон “Ut tensio, sic vis”, т.е. “Каково удлинение, такова и сила”.

В 1822 г. французский математик Луи Коши ввел понятия напряжение и деформация. В современном виде закон Гука формулируется так:

Относительная продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормальному напряжению

, (2.19)

где E – модуль продольной упругости (модуль Юнга), упругая постоянная материала, характеризующая жесткость материала при растяжении (сжатии); определяется экспериментально, имеет размерность напряжения, например:

для стали Е = 210⁵ МПа, алюминиевых сплавов Е = 0,6510⁵ МПа, для резины E = 7,0 МПа, для дерева Е = 10⁴ МПа, для бетона .

Идею о модуле упругости впервые высказал в 1800 г. английский ученый Томас Юнг. Он же первый указал, что закон Гука справедлив только в пределах упругих деформаций материала.

На рисунке 2.8, а дано графическое представление закона Гука. Установим геометрический смысл модуля упругости Е. Выберем точку В прямолинейного участка ОВ (рис. 2.10,а), координаты этой точки и .

Рис. 2.8

Очевидно, их отношение (тангенс угла наклона линии ОВ к оси абсцисс) равно модулю продольной упругости :

Перейдем к определению деформаций стержня. Из формул (2.4) и (2.6) имеем:

и .

Тогда абсолютное удлинение участка стержня длиной при и будет равно

, (2.20)

где EA - жесткость поперечного сечения при растяжении (сжатии). Формула (2.20) выражает закон Гука для абсолютной продольной деформации, ее называют формулой жесткости при растяжении и сжатии.