13. Главные оси и главные моменты инерции сечений. Определение положения главных осей и вычисление главных моментов инерции сложных сечений.

Главными осями называются оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения.

Главные моменты инерции – экстремальные значения моментов инерции. Относительно одной главной оси момент инерции имеет наименьшее значение – I_min, относительно другой – наибольшее I_max.

Будем обозначать главные оси буквами u и v. Докажем приведенное утверждение. Пусть оси x и y – центральные оси несимметричного сечения (рис. 1.1).

Определим положение главных осей путем поворота центральных осей на угол α₀, при котором центробежный момент становится равным нулю.

Рисунок 1.1

Тогда

Откуда

Эта формула определяет положение главных осей, где α₀ – угол, на который нужно повернуть центральные оси, чтобы они стали главными. Отрицательные углы α₀ откладываются по ходу часовой стрелки от оси x.

Главные центральные моменты инерции определяются по формулам:

Если сложить почленно эти формулы, очевидно, I_u+I_v = I_x+I_y = const. Если исключить из этих формул угол α_0, , то получим более удобную формулу для главных центральных моментов инерции:

Полезно иметь в виду частные случаи:

1) Если фигура имеет две оси симметрии, то оси являются главными центральными осями.

2) Для правильных фигур – равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.п., имеющих более двух осей симметрии, все центральные оси являются главными, а моменты инерции относительно них равны между собой.

Общий порядок определения главных центральных моментов инерции

Пусть требуется найти положение главных центральных осей и вычислить относительно них моменты инерции для плоского сечения, состоящего из швеллера и полосы (рис. 1.2):

Рисунок 1.2

1. Выбирают вспомогательные оси – проводят произвольную систему координат xOy.

2. Разбивают сечение на простые фигуры и по формулам определяют положение центра тяжести С относительно выбранных вспомогательных осей.

3. Через точку С проводят центральные оси x_c и y_c параллельно осям простых фигур.

4. Определяют осевые центральные моменты инерции простых фигур

I_xc=I_x1+a₁²F₁+ I_x2+ a₂²F₂, где а – расстояние между осями X.

5. Определяют центральные моменты инерции всего сечения как сумму соответствующих моментов простых фигур, найденных в пункте 5.

7. Вычисляют угол α₀ по формуле и, поворачивая оси x_c и y_c на угол α₀, изображают главные оси u и v.

8. По формулам вычисляют I_min и I_max.

9. Делают проверку:

а) ;

б) ;

13. Кручение круглого вала. Эпюры крутящих моментов, напряжений и углов закручивания по длине вала. Условия прочности и жесткости.

Кручение – вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый или .

Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими моментами и обозначать m (рис. 1.1).

Рисунок 1.1

Брус, работающий на кручение, называется валом.

Вычисление крутящих моментов. Построение эпюр

При расчете вала внешние скручивающие моменты могут быть выражены через мощность и угловую скорость.

m=P/(Н/м)

m=9,55P/n n -число оборотов

Если вал находится в состоянии покоя или равномерного вращения то алгебраическая сумма всех скучивающих моментов равна 0.

Крутящий момент, возникающий в произвольном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к отставной части

М_к=

/

/