17) Интегрирование рациональных функций.

Важный класс функции, интегралы от которых всегда выражаются через элемент функции, следовательно элементарные функции, т е функции можно представить в виде p(x)/q(x), где p(x) и q(x) – многочлены. Если степень многочлена в числители равна или больше степени многочлена в знаменателе, то выполнимо деление по очереди.p(x)/q(x)=w(x)+r(x)/q(x), w(x)- многочлен, R(x) многочлен, степень которого меньше чем степень q(x).

18) Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Предварительно введем обозначение рациональной функции от двух переменных u и v, т е функции, из двух переменных над которыми проводятся операции сложения и умножения. R(u,v). Если переменные в свою очередь являются функциями, то функция называется рациональной функцией от многочленов относительно одной переменной. Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функции и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональной функции.

19) интегралы вида ∫R(x,√axx+bx+c)

∫R(x,√axx+bx+c): Если трехчлен √axx+bx+c имеет два корня и а>0, то получаем функцию вида: R(x, √axx+bx+c)=R(x,│x-x1│ √a(x-x2)/(x-x1). Если корни равны то, √axx+bx+c= √a│x-x1│.

20) Определение определённого интеграла.

Опр: Если существует конечный предел I интегральной суммы, при λ→0, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку а,b и обозначается

В этом случае f(x) называется интегрируемой функцией, а а и b это пределы интегрирования.

Опр: Число I называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку a,b если для любого E>0 существует d>0 такое, что при λ<d, независимо выполняется неравенство: f(x)-I<E

21) Условие сущ-я определённого интеграла.

Ограниченность интегрируемой функции.

Теорема: Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Предположим обратное, т е допустим, что функция не ограничена на отрезке. Покажем, что в этом случае интегрируемую сумму можно сделать сколь угодно большой. Зададим определенное число М>0, получаем что интегральная сумма по величине больше любого заданного числа, поэтому интегральная сумма не имеет предела, это значит что определенный интеграл от неограниченной функции не существует.

Это условие не является достаточным. Достаточным является другие условия.

22) Суммы Дарбу.

Пусть функция f(x) ограничена на отрезке. Разобьем ее на отрезки. Через M и m означим точную нижнюю грань и точную верхнюю грань. Суммы Mi∆xi и mi∆xi. Эти суммы называются соответственно нижней и верхней суммами. Сумма Дарбу имеет один геометрически смысл. Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию на отрезке и криволинейную трапецию, т е график функции ограниченными прямыми с координатами концов отрезка.

23) Формула Ньютона Лейбница.

Вычислять определенный интеграл как предел интегральной суммы очень трудно. Поэтому существует более удобный способ. Установлен, что функция непрерывна на отрезке интегрирования. Получаем формулу: Определенный интеграл равен разности интеграла от верхней грани и интеграла от нижней грани.

Замечание: Формула Ньютона Лейбница справедлива и для некоторых непрерывных функции.

24) Некоторые физические и геометрические приложения определённого интеграла.

1) Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от этой функции,

2) Площадь криволинейного сектора.

3) Длина дуги кривой.

4)Объем тела вращения

5) Площадь поверхности вращения.

6) Работа переменной силы,

25) Длина дуги кривой.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x) и функция непрерывна на отрезке дифференцирования. Разобьем кривую на отрезки. Соединив соседние точки хордами получим ломанную длиной Р. Получаем формулу длины ломаной L=∫√1+f’f’dx

27) Площадь поверхности вращения.

Пусть функция f(x) неотрицательна на отрезке, тогда площадь вычисляется по формуле: P=2pi∫f(x)√1+f’f’(x)dx. Доказательство: По формуле Ла гранжа получаем li=√1+f’f’(x)∆x. Переходя к пределу получаем что Длина дуги кривой равна P=∫f(x)√1+f’f’(x)dx. Но т к мы вычисляем формулу вращения то помножаем на 2pi, и получаем: P=2pi∫f(x)√1+f’f’(x)dx.

28) Интерполяционная формула Лагранжа.

Рассмотрим вопрос об отыскании коэффициентов интерполяционного многочлена. Представим многочлен в системе уравнений: a0+a1x0+…+anx0n=y0 …a0+a1xn+…+anxnn=yn. Найдя коэффициенты а получаем саму интерполяционную формулу : Pn=((x-x1)…(x-xn)/(x0-x1)…(x0-xn))y0+…+((x-x0)…(x-xn-1)/(xn-x0)…(xn-xn-1))yn

32) Признак сходимости несобственных интегралов.

Если существует конечный предел lim при (R→∞)∫_a^rf(x)dx, то lim при (R→∞)∫_a^+∞f(x)dx существует или сходится, если же lim при (R→∞)∫_a^rf(x)dx не существует или равен ∞, то говорят, что lim при (R→∞)∫_a^+∞f(x)dx не существует или расходится, аналогично для lim при (R→∞)∫_-∞^bf(x)dx.

33) Ряды (основные понятия). Сходимость ряда.

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁,u₂,…,u_n соединённые знаком сложения. u₁,u₂,…,u_n – члены ряда. u_n – общий член или n-ый член ряда. Заданный – ряд в котором известен u_n. Обратная задача – по нескольким первым членам написать общий член – имеет бесконечное множество решений.

Ряд называется сходящимся если существует конечный придел последовательности его частных сумм. lim при (n→∞)S_n=S. S – сумма ряда. В этом случае можно записать u₁+u₂+…+u_n=S. Если конечного предела последовательности конечных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.