38) Ряд Маклорена.

f(x) = f(0)+ (f’(0)/1’)x + (f’’(0)/2’)x² +(f’’’(0)/3’)x³ + (fⁿ(0)/n’)xⁿ

Данный ряд называется рядом Маклорена.

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд маклорена, может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для Функции f(x) является расходящимся либо сходящимся. Так же как и для числовых рядов сумму f(x) ряда Маклорена можно представить в виде: f(x)=S_n(x)+r_n(x), где S_n n-ная частичная сумма рядов r_n(x), n-ный остаток ряда, тогда на основании свойства сходящихся элементов можно сформулировать теорему:

Для того, что бы ряд Маклорена сходился к функции f(x) необходимо и достаточно что бы при n→∞ остатор ряда →0

lim_n→∞ r_n(x)=0 для всех значений х из интервала сходимости ряда.

Замечание.

Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора.

39) Функции нескольких переменных. (Основные понятия).

Опр.

Пусть имеется n-переменных величин, и (х₁,х₂,…х_n) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z, тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z=f(x₁,x₂,…x_n ) называется функцией нескольких переменных, а переменные x₁,x₂,…x_n – независимыми переменными или аргументами z- зависимая переменная. Множество Х наз-ся областью определения функции.

40) Предел и непрерывность Функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции z=f(x,y) при х=х₀, у→у₀ (или в точке х₀,у₀), если даже для сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число δ>0, зависящее от Е, то для всех точек (х,у) отстающих от х0у0 на расстоянии θ, выполняется неравенство:

0<f< δ; |f(x,y)-A|< E;

Опр. Функция z=f(x) называется непрерывной в точке х₀, у₀ если она:

1. Определена в точке (х₀,у₀),

2. Имеет конечный предел, при х→х₀ и у→у₀.

3. Этот предел равен значению функции в точке х₀у₀

lim_{х→х0; у→у0} = f (х_0; у₀)

41) Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных.

Частной производной фун-и нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой, независимой переменной, при стремлении последнего к нулю, если этот предел существует. Из определения частных производных 1и2,следует, что для нахождения производной z’_x надо считать постоянной переменную у, для нахождения z’_y – переменную х.

Дифференциал.

Опр.

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение соответствующих независимых переменных.

Функция z =f (x;y) называется дифференцируемой, если её полное приращение может быть представлено в виде:

∆z=dz+α∆x +β∆y, где dz – дифференциал функции, α= α(∆х;∆y); β= β(∆х;∆y) – бесконечно малые величины при dх→0 dу→0, таким образом дифференциал функции нескольких переменных, как и в случае одной переменной представляет собой главное линейное относительно приращения ∆х, ∆y, часть полного приращения функции. Существование частных производных является лишь необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема.

Достаточное условие дифференцируемости двухфункции.

Если частные производные функций z’_x; z’_y существуют в окрестности точки (х,y) и непрерывны в точке (х,y), то функция = z(х,y) дифференцируема в этой точке.