34) Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Теорема (Необходимый признак сходимости). Если ряд сходится то придел общего члена u_n при n→∞ равен 0.

Следствие. Если предел общего члена u_n при n→∞ <>0, то ряд расходится.

Замечание. Рассмотренная теорема выражает лишь необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда. Если lim при (n→∞)u_n=0, то из этого не следует что ряд сходится.

35) Ряды с положительными членами.

Теорема (Признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами u₁+u₂+…+u_n и v₁+v₂+…+v_n, причём члены первого ряда не превосходят члены второго, т.е. при любом n u_n<b_n. Тогда: a) если расходится u₁+u₂+…+u_n, то расходится v₁+v₂+…+v_n;

b) если сходится u₁+u₂+…+u_n, то сходится v₁+v₂+…+v_n.

Теорема (Предельный признак сравнения). Если u₁+u₂+…+u_n и v₁+v₂+…+v_n ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов lim при (n→∞)u_n/v_n=k<>0, то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Теорема (Признак Даламбера). Пусть для ряда u₁+u₂+…+u_n с положительными членами существует предел отношения (n+1) члена к n–ому члену. lim при (n→∞)u_n+1/v_n=l, тогда если l<1, то ряд сходится, а если l>1, то ряд расходится, если l=1, то вопрос о сходимости ряда остаётся не решенным.

Замечание. lim при (n→∞)u_n+1/v_n=∞, то ряд расходится.

Теорема (Интегральный признак сходимости). Пусть дан ряд u₁,u₂,…,u_n члены которого положительны и не возрастают, а функция f(x) определена при х=>1. Непрерывна и не возрастающая тогда для сходимости ряда u₁+u₂+…+u_n необходимо и достаточно чтобы сходился несобственный интеграл lim при (R→∞)∫₁^∞f(x)dx.

36.) Ряды с членами произвольного знака.

Понятие:

Под знакочередующимся рядом понимается ряд в котором члены попеременно то-положительные, то отрицательные.

U₁+U₂+U₃+U₄ +…+(-1)^n-1 U₂+U_n>0

Теорема.

Признак Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U₁>U₂…>U_n и предел его общего члена, при n→∞=0, т.е. lin _n→∞ U_n=0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, S≤U₁

Следствие:

Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося, знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого члена.

37) Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Опр.

Ряд вида: С₀+С₁х+…+С_nХ_n+… называется степенным, а числа С₀,С₁…С_n…- коэффициенты степенного ряда. Совокупность тех значений х, при которых степенной сходится называется областью сходимости степенного ряда. Структура сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд сходится при значении х=х₀неравно0, то он сходится и при том абсолютно при всех значениях х, таких, что |х|<|x₀|.

2. Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях х, таких, что |х|>|x₁|. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R≥0, что при |х|<R, ряд сходится, а при |х|>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал –(-R;R) – интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание.

Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку. (х=0). А у других охватывает всю ось Ох.

Сво-ва степенных рядов.

Пусть Фун-я f(x) является суммой степенного ряда f(x)=∑^∞_n=0 С_nxⁿ. Степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены):

На любом отрезке АВ целиком принадлежащем интервалу от –R до R фун-я F(x) является не прерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке. Кроме того в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. f(x)=C₁+2C₂x+ 3C₃x²+nC_nX^n-1+…при этом после интегрирования или дифференцирования имеют тот-же радиус сходимости R.