- •1) Дифференциальные теоремы о среднем.
- •2) Теорема Ролля, Лагранджа и Коши о средних значениях.
- •1) Непрерывна на (a,b);
- •1) Непрерывна на (a,b);
- •3) Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.
- •2. Неопределённость вида ∞/∞:
- •4) Признак монотонности функции.
- •5) Отыскание точек локального экстремума.
- •7) Асимптоты графика функций.
- •8) Схема исследования графика функции.
- •9) Формула Тейлора.
- •6) Направление выпуклости и точки перегиба графика.
- •10) Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена.
- •11) Формула Маклорена.
- •12) Первообразные и неопределённый интеграл.
- •13) Неопределённый интеграл.
- •14) Основные свойства неопределенных интегралов.
- •15) Таблица основных интегралов.
- •16) Основные методы интегрирования.
- •17) Интегрирование рациональных функций.
- •18) Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
- •20) Определение определённого интеграла.
- •21) Условие сущ-я определённого интеграла.
- •22) Суммы Дарбу.
- •34) Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
- •35) Ряды с положительными членами.
- •36.) Ряды с членами произвольного знака.
- •37) Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
- •38) Ряд Маклорена.
- •39) Функции нескольких переменных. (Основные понятия).
- •40) Предел и непрерывность Функции нескольких переменных.
- •41) Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных.
- •42) Производная по направлению. Градиент.
- •43)Экстремум функции нескольких переменных.
42) Производная по направлению. Градиент.
Опр.
Производной z’L по направлению L функции двух переменных z=f (x;y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆L, при стремлении последней к 0.
z’L=lim∆L→0 ∆Lz/∆L
Величина z’L характеризует скорость изменения функции в направлении L, очевидно, что частные производные z’х и z’у представляют производные по направлениям параллельным соответственно осям Ох и Оу. Не трудно показать, что z’L = z’х cosα+ z’у cosβ.
Опр.
Градиентом ◄z функции z=f(x;y) называется вектор с координатами (z’х , z’у)
Теорема.
Пусть заданна дифференцируемая функция z=f(x) и пусть в точке М(х0;y0) величина ◄отлична от 0. Тогда ◄ перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.
43)Экстремум функции нескольких переменных.
Опр.
Точка М(х0,у0) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x;y), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (x,y) выполняется неравенство (f(x0;y0) ≤ f(x;y))
Теорема.
(Необходимое условие экстремума)
Пусть Точка (x0;y0) есть точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x;y), тогда частные производные f’(x) от (x0;y0) и f’(у) от (x0;y0) в этой почке = 0. Точки в которых выполнены необходимые условия экстремума функции z=f(x;y) т.е. частные производные
z’х и z’у =0, наз-ся критическими или стационарными. Равенство частных производных 0 выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функций нескольких переменных. Введём понятие частных производных второго порядка, ели частные производные z’х и z’у сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти так-же их частные производные, которые называют частными производными второго порядка.