Свойства обратных матриц

_{; ; ;} ;

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1) Находим определитель матрицы _. Если его величина не равна нулю, то матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2) Находим транспонированную к матрицу

3) Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы

4)Записываем присоединенную матрицу

4) Вычисляем обратную матрицу:

Общие понятия системы линейных уравнений

Система линейных уравнений с переменными имеет вид

(1)

Переменные, подлежащие определению, называются неизвестными. Переменные и могут принимать любые действительные значения. называются коэффициентами при переменных, все — свободными членами уравнений.

Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел которая при подстановке в систему обращает каждое уравнение в тождество. Линейная система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Системы уравнений удобно решать в матричной форме. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения. Введем обозна­чения:

; ;

где А — матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы; X— матрица-столбец неизвестных; В— матрица-столбец свободных членов. Тогда система уравнений может быть представлена в матричном виде

или в компактной матричной форме (*)

Метод обратной матрицы

Решим уравнение (*) в случае и _. Умножим слева обе части мат­ричного уравнения на _: или

Метод с использованием формул Крамера

Пусть у квадратной матрицы коэффициентов при неизвестных в сис­теме из п линейных уравнений с неизвестными определитель Пусть — определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой _го столбца столбцом свободных членов. Тогда система миеет единственное решение ; ; …,

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований. Для системы уравнений (1) составим расширенную матрицу:

Посредством элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду

Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю:

В матричном виде система: , где

; ;

Свойства однородной системы линейных уравнений

1. Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение.

2. Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных т.е число линейно независимых уравнений должно быть меньше числа переменных. В этом случае

3. Если матрица-столбец (вектор) есть решение однородной системы, то и столбец также является решением системы.

4) Если матрицы-столбцы и есть решения

системы (6), т.е. и то и столбец

где — произвольные числа, также является решением системы

Понятие линейного векторного пространства

Определение. Множество элементов ... называется линейным пространством, если по некоторому правилу:

1. Любым двум элементам из поставлен в соответствие элемент из обозначаемый и называемый суммой элемен­тов

2. Любому элементу из и каждому числу поставлен в со­ответствие элемент из обозначаемый и называемый произведением числа на элемент причем справедливы следую­щие аксиомы:

; ; ;

; ; ;

7. существует нулевой элемент 0 такой, что для любого

8. для каждого элемента существует противоположный элемент - такой, что

Вектор в _- мерном пространстве

Определение. -мерным вектором называется математический объект, который состоит из упорядоченной совокупности действительных чисел, называемых компонентами вектора, и записывается в виде

Два -мерных вектора и называются равными, если равны все компоненты векторов, т.е. где

_{Пусть для} -мерных векторов выполнены правила сложения и умножения на число, удовлетворяющие аксиомам линейного пространства. Тогда множество всех -мерных векторов называется линейным векторным пространством и обозначается _.

Суммой двух векторов и назовем вектор такой, что

Произведением действительного числа на вектор назовем вектор такой, что .

Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть каждый из векторов в наборе есть -мерный вектор.

Определение. Вектор х называется линейной комбинацией векторов если найдутся такие действительные числа что

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не все одновременно равные нулю, что (4)

Если равенство (4) выполняется только при _, то векторы называются линейно независимыми.

Размерность векторного пространства

Определение. Векторное пространство называется -мерным, если среди множества его векторов найдутся линейно независимых векторов, а любые векторов уже окажутся зависимыми. Число называется размерностью векторного пространства.