Приложения скалярного произведения.

- острый, > 0, отсюда следует, что > 0.

- тупой, < 0, отсюда следует, что < 0.

= 90, = 0, отсюда следует, что = 0.

Векторное произведение двух векторов.

Определение. Векторным произведением векторов пространства называется вектор , обозначаемый , удовлетворяющий условиям: 1) , _;

2) , _; 3) векторы образует правую тройку векторов.

Из этого следует:

1) модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как и на сторонах

2) _; 3) ; ; _; ; ;

Свойства векторного произведения.

1) Векторное произведение антикоммутативно, т.е. .

2) и верны равенства

1). _; 2). _; 3). _;

Выражение векторного произведения в координатах.

В базисе заданы векторы координатами

тогда . Разложение вектора по базису может быть представлено:

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением трех векторов из называется скалярное произведение вектора на вектор , т.е. число .

1) Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах, как на ребрах,

2) Из геометрии: ; ;

Из геометрии: ;

3) Если смешанное произведение >0, то тройка векторов правая; если <0, то тройка векторов левая.

4) Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе _{; ;} , то смешанное произведение

Сфера в пространстве.

Определение: Сферой называют множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки (центр сферы) на заданное расстояние (радиус сферы).

- нормальное уравнение сферы.

Если центра сферы - О(0, 0, 0), тогда

x²+ y²+ z²= R² - каноническое уравнение сферы.

Плоскость в пространстве.

В координатной форме: A(x- x₀)+ B(y- y₀)+ C(z- z₀)= 0 – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Ax+ By+Cz+D= 0 ‒ общее уравнение плоскости, где N(A, B, C) – координаты вектора нормали.

- уравнение плоскости через три точки.

- уравнение плоскости в отрезках.

угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами данных плоскостей. А угол между векторами рассчитывается с помощью формулы:

;

Взаимное расположение двух плоскостей.

Плоскость (1) параллельна плоскости (2) .

- условие параллельности двух плоскостей.

Если , то такие плоскости будут совпадать.

2) Плоскость (1) перпендикулярна плоскости (2).

- условие перпендикулярности двух плоскостей.

3) При пересечении двух плоскостей образуются две пары двухгранных углов.

Углом между двумя плоскостями считают угол между их векторами нормали: - угол между плоскостями.

Уравнение прямой в пространстве

- каноническое уравнение прямой в пространстве.

Положим в канонических уравнениях все равно параметру t и выразим x, y, z:

.

; - параметрические уравнения прямой

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Общее уравнение прямой в пространстве.

Прямая может быть задана в пространстве как линия пересечения плоскостей:

- общее уравнение прямой в пространстве.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

1) Прямая (1) c направляющим вектором l₁= (m₁, n₁, p₁) ║ прямой (2) c направляющим вектором l₂=(m₂, n₂, p₂).

- условие параллельности двух прямых в пространстве.

2) Прямая (1)  прямой (2).

- условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

3) Угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами.

- угол между прямыми.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Возьмем в пространстве плоскость α с уравнением ,

N= (A, B, C), и прямую а с уравнением , l= (m; n; p).

Возможны следующие случаи расположения:

1) - условие перпендикулярности прямой и плоскости.

2) Am + Bn + Cp= 0 - условие параллельности прямой и плоскости.

3) Прямая лежит в плоскости.

- условие принадлежности прямой к плоскости.

4) - угол между прямой и плоскостью в пространстве.

Расстояния между различными объектами в пространстве.

1) - расстояние от точки до плоскости.

2) Расстояние между двумя параллельными плоскостями. _{и равно}

3) Расстояние между прямой и параллельной плоскостью.

На прямой нужно взять произвольную точку и найти расстояние от этой точки до плоскости.

Уравнение прямой на плоскости

- каноническое уравнение прямой на плоскости, где l=(m, n) - направляющий вектор прямой.

_.

x= mt+ x₀

y= nt+ y₀ - параметрические уравнения прямой на плоскости.

- уравнение прямой через две точки.

-общее уравнение прямой на плоскости.

N= (A, B) - нормаль, перпендикулярная прямой.

- уравнение прямой в отрезках.

- уравнение прямой с угловым коэффициентом (k).

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Каноническое уравнение	Общее уравнение Ax+ By+ C= 0	Уравнение с угловым коэффициентом y= kx+ b
Параллельность
Перпендикулярность
Угол между прямыми

Кривые второго порядка.

Общее уравнение .

Определение: Окружностью называют множество точек плоскости, удаленных от заданной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности).

- нормальное уравнение окружности.

- каноническое уравнение окружности.

Определение: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов), есть величина постоянная, равная 2а, большая, чем расстояние между фокусами.

- каноническое уравнение эллипса.

Определение: Гиперболой называют множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а, меньшая, чем расстояние между фокусами, но больше 0.

- каноническое уравнение гиперболы.

Определение: Параболой называют множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы).

- каноническое уравнение параболы.