Свойства непрерывных функций.

1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.

2. У непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами. Если f(x) ‒ непрерывная функция, то .

3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

4. Пусть функция x=x(t) непрерывна в точке t_0. Пусть функция y=y(x) непрерывна в точке x₀, где x₀=x(t₀) . Тогда сложная функция y=y(x(t)) непрерывна в точке t₀.

Точки разрыва и их классификация.

Определение: Точка x₀, в которой нарушается условие непрерывности функции, называется точкой разрыва этой функции.

Функция терпит в точке x₀ разрыв, если .

Существует три типа точек разрыва:

1.	Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, если функция y=f(x) неопределена в точке x0 и . Разрыв можно устранить доопределив функцию в точке x0.
2.	Точка х0 – точка разрыва первого рода (скачок), если , ,

3. Точка - точка разрыва второго рода, если хотя бы один их односторонних пределов равен (бесконечный предел)

Теоремы о непрерывных функциях.

Теорема 1. (о сохранении знака непрерывной функции). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а;b) и в точке х₀ значение функции . Тогда существует окрестность точки x₀, в которой f(x) сохраняет знак.

Теорема 2. (I т. Больцано-Коши).Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда существует такая точка с [а;b], что f(с)=0.

Теорема 3. (II т. Больцано-Коши о промежуточных значениях).

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а;b], f(a)=А, f(b)=В. Тогда f(x) принимает все промежуточные значения между А и В.

Теорема 4. (I т. Вейерштрасса). Пусть функция f(x) непрерывна на [а;b]. Тогда f(x) ограничена на [а;b].

Теорема 5. (II т. Вейерштрасса). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Тогда она принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения.

Производная функции одной переменной.

О пределение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности. Дадим x₀ приращение x так, чтобы точка принадлежала указанной окрестности. Тогда функция получит приращение y. .

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, то он называется производной функции f(x) в точке x₀. . Обозначают производную , , y', , . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема: Если функция имеет конечную производную в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Геометрический и физический смысл производной.

Определение: Касательной к графику функции в точке M₀(x₀,y₀) называется предельное положение секущей M₀N, когда точка N стремится к точке M₀ по графику.

Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x_0. .

Физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=S(t), где t ‒ время, S ‒ координата точки на оси.

Физический смысл производной заключается в следующем: Производная – это мгновенная скорость изменения функции. V_мгн=S'(t).