Сходящиеся и ограниченные последовательности.

Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. - число. В противном случае последовательность называется расходящейся.

Определение: Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что для всех членов последовательности .

Определение: Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что для всех членов x_nm.

Определение: Последовательность называется ограниченной, если она ограниченна сверху и снизу, т.е.число A>0 такое, что для всех членов последовательности |x_n|A.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение: Последовательность {x_n} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа , найдется номер последовательности N, зависящий от , начиная с которого выполняется неравенство |x_n|<. .

Определение: Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, для любого, сколь угодно большого, положительного числа А, найдется номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство |x_n|>A. .

Теорема: Бесконечно малые (б/м) и бесконечно большие (б/б) последовательности взаимообратные.

Свойства сходящихся последовательностей.

1. Единственность.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Арифметические действия.

Теорема: Если последовательности {x_n} и {y_n} сходящиеся, причем и , тогда ; ; .

3. Необходимое условие сходимости.

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Достаточные условия существования предела.

Определение: Последовательность {x_n} называется возрастающей (неубывающей), если x₁<x₂<… (x₁x₂…).

Определение: Последовательность {x_n} называется убывающей (невозрастающей), если x₁>x₂>… (x₁x₂…).

Теорема1: Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.

Теорема2: Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.

Предел функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки.

1) Определение предела функции на языке : Число А называется пределом функции f(x) при xa, если для любого сколь угодно малого положительного числа  найдется число ()>0 такое, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<, следует неравенство |f(x)-A|<.

 >0 >0: из |x-a|<  |f(x)-А|<.

Интервал (a-, a+) на оси ОХ называется дельта-окрестностью точки a.

Интервал (A-, A+) на оси ОY называется эпсилон-окрестностью точки A.

Функция y=f(x) переводит каждую точку из -окрестности точки a на оси ОХ внутрь ε-окрестности точки А на оси ОY.

2) Определение предела на языке окрестности: Число A называется пределом функции при xa, если для любой сколь угодно малой -окрестности точки A на оси ОY найдется -окрестность точки a на оси ОХ, которую функция переводит в -окрестность.

3) Определение предела на языке последовательности: Число A называется пределом функции f(x) при xa, если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к точке a, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к A.

4) Правый и левый пределы. Если есть x_na и x_n<a, то число A называется левым пределом функции при xa-0. . Если x_na и x_n>a, то число A называют правым пределом функции при xa+0. .

Теорема: Если функция имеет предел при ( ) xa, то он единственен.