4. Қисықтың доғасының ұзындығы және доғаның дифференциалы.

[a,b] сегментінде анықталған f(x) функциясы берілсін және y=f(x) қисығы үздіксіз болсын. Осы қисықтың А және В нүктесіне дейінгі доғасының ұзындығы мына формуламен есептеледі:

Қисық параметрлік теңдеумен берілген жағдайдағы доғаның ұзындығын есептейік. . Мұндағы - үздіксіз туындылары бар үздіксіз функциялар болсын және берілген аралықта нөлге тең болмайтын болсын. Онда .

Енді қисықтың теңдеуі полярлық координаталарымен берілгендегі доғаның ұзындығының формуласын берейік.

қисықтың теңдеуі берілсін, мұндағы -полярлық радиус, -полярлық бұрыш. Сонда .

5. Айналу денесінің бетінің ауданы.

y=f(x) қисығының Ох осінен айналуынан шыққан бет берілсін. аралығындағы сол беттің ауданының формуласы: .

Егер қисық параметр түрде берілсе, онда осы қисықтың Ох осінен айналуынан шыққан беттің ауданы төмендегідей формуламен есептеледі: .

6. Меншіксіз интегралдар.

Анықталған интегралда интегралдау интервалдары шекті деп және интеграл астындағы функция сол аралықта шексіздікке айналмайды деп алдық. Ондай интегралдарды меншікті интегралдар деп атаймыз. Егер ең болмағанда жоғарыдағы екі шарттың біреуі орындалмаса, онда интеграл меншіксіз интеграл деп аталады.

1. Шектері шексіздік болып келетін интегралдар. f(x) функциясы сәулесінде берілсін және кезкелген шекті [a,b] кесіндіде интегралданатын болсын.

Анықтама. бар болса, онда ол f(x) функциясының жоғары шегі шексіздік болып келген меншіксіз интегралы деп аталады және деп белгілейді. Сонымен, . Егер осы шек бар болса, меншіксіз интегралы жинақталады дейді. Егер бұл шек болмаса онда шашырайды дейді.

Сонымен қарастырылған интеграл жөнінде мынандай қорытынды жасауға болады.

Егер болса, онда болады, яғни интеграл жиақталады.

Егер болса, онда болады, яғни интеграл шашырайды.

Егер болса, онда болады, яғни интеграл шашырайды.

1-Теорема. Егер х-тің барлық мәні үшін теңсіздігі орындалса және егер жинақталса, онда интегралданады, және сонымен бірге болады.

2-Теорема. Егер х-тің барлық мәні үшін теңсіздігі орындалса және егер жинақсыз болса, онда -та жинақсыз болады.

3-Теорема. Егер интегралы жинақты болса, онда интегралы да жинақты болады. Бұл жағдайда абсолютты жинақталады деп аталады.

Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:

1. интегралын есепте.

2. интегралын есепте.

3. интегралын есепте.

4. интегралын есепте.

1. интегралын есептењдер.

2. интегралын есептеңдер.

3. интегралын есептеңдер.

4. интегралын есептеңдер.

5. интегралын есептеңдер.

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., «Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы», -1963.

2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.

3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., «Мектеп», 1987.

ДӘРІС 16. ЕКІ АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯЛАР. ОЛАРДЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ. ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛАРЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. КҮРДЕЛІ ФУНКЦИЯНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ.

Дәріс сабақтың құрылымы:

1. Бірнеше айнымалының функциясының шегі

2. Бірнеше айнымалының функциясының үздіксіздігі

3. Бірнеше айнымалының функциясының дербес туындылары

Дәріс сабақтың мазмұны:

1-Анықтама. Егер Д облысындағы тәуелсіз х, у айнымалыларының әрбір қос (х,у) мәніне қандай да бір ереже немесе заң бойынша z –тің бір мәні сәйкес келсе, онда айнымалы z Д жиынындағы х, у тәуелсіз айнымалыларының функциясы делінеді. Былай белгіленеді: т.б.

2-Анықтама. функциясы анықталатын х пен у-тің (х,у) қос мәндерінің жиынтығы, сол функцияның анықталу облысы немесе бар болу облысы деп аталады.