5. Функцияның графигінің асимптоталары.

Анықтама. Егер y=f(x) функциясының графигінің бойындағы нүкте шектеусіз алыстағанда, ол нүкте мен қандай да белгілі бір түзудің ара қашықтығы нөлге ұмтылса, онда бұл қисықтың асимптотасы деп аталады.

Оу осіне параллель асимптота.

сол жағынан ұмтылғанда y=f(x) функциясы абсолюттік шамасы бойынша шексіз өссе, яғни болса онда анықтамадан түзуі асимптота екендігі шығады. Сол сияқты болса түзуі асимптота болады.

Оу осіне параллель емес асимптота.

y=f(x) функциясының оу осіне параллель емес асимптотасы бар болсын. Ондай асимптотаның теңдеуі y=kx+b болады. к және в ні төмендегіше табамыз.

Функцияны зерттеудің жалпы схемасы және оның графигін салу.

Біз осыған дейін туынды көмегімен функцияның әртүрлі қасиеттерін зерттеудің бірнеше тәсілдерін бердік. Енді соларды функцияның графигін салу үшін пайдалануға кейбір нұсқаулар келтірейік. Сонымен, функцияның графигін салу үшін келесі зерттеулерді жүргізген жөн.

1. Функцияның анықталу облысын, үздіксіздік интервалын және үзіліс нүктелерін табу.

2. Функцияның графигінің асимптоталарын табу.

3. Графиктің координат остерімен қиылысу нүктесін және функцияның таңбасының тұрақтылық интервалдарын табу.

4. Функцияның монотондылық интервалын және оның экстемумын (максимум және минимумын) табу.

5. Функцияның графигінің дөңес және ойыс интервалдарын және майысу нүктесін табу.

6. Функцияның графигін салу.

Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:

1. функциясының туындысын табыңдар.

2. функциясының туындысын табыңдар

3. функциясының туындысын табыңдар

4. функциясының x=2 туындысын табыңдар

5. функциясының екінші ретті туындысын табыңдар

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., «Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы», -1963.

2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.

3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., «Мектеп», 1987.

ДӘРІС 11-13. АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛ ЖӘНЕ ҚАСИЕТТЕРІ. АЙНЫМАЛЫНЫ АУЫСТЫРУ ЖӘНЕ БӨЛШЕКТЕП ИНТЕГРАЛДАУ.

Дәріс сабақтың құрылымы:

1. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл

2. Интегалдаудың негізгі әдістері

3. Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау

4. Бөлшектеп интегралдау

Дәріс сабақтың мазмұны:

1. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл.

1-Анықтама. Егер [a,b] кесіндісінің кез келген нүктесінде болса, онда F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.

Мысалы: функциясының алғашқы функциясы болады, өйткені болады.

Теорема-1. Егер және функциялары f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі екі алғашқы функциялары болса, онда олардың айырмасы тұрақты сан болады.

2-Анықтама. Егер функциясы f(x) тің алғашқы функциясы болса, онда өрнегі f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады. және деген белгімен белгіленеді. Сонымен болады. Мұндағы

f(x) интеграл астындағы функция деп, f(x)dx интеграл астындағы өрнек деп аталады. х интегралдау айнымалысы деп, ал белгі -анықталмаған интегралдың таңбасы деп аталады.

Теорема-2. Берілген сегментте үздіксіз кез келген функцияның осы сегментте алғашқы функциясы болады. Берілген функцияның анықталмаған интегралын табу амалы сол функцияны интегралдау деп аталады. 2-ші анықтамадан мыналар шығады.

1. Анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең болады, яғни, егер болса, онда болады.

2. Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең болады.

3. Кез келген функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы сол функция мен тұрақты санның қосындысына тең болады.

Негізгі интегралдың таблицасы.

Интегралдауды жеңілдету үшін негізгі интегралдардың таблицасы беріледі. Бұл таблицалардың дұрыстығын дифференциалдау арқылы жеңіл тексеруге болады.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 11*.

12. 12*.

13. 13*.

14. 15.

16.

Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.

Теорема-1. Екі және бірнеше функцияның алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы олардың интегралдарының қосындысына тең.

.

Теорема-2. Тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығаруға болады, яғни егер а – тұрақты сан болса, болады.