3. Рационал бөлшектерді интегралдау.

-рационал бөлшектің интегралын есептеу керек болсын яғни -ті есептеу керек болсын. Егер берілген бөлшек бұрыс бөлшек болса, онда оны М(х) көпмүшелігі мен дұрыс рационал бөлшек -тің қосындысы түрінде жазамыз. Сонда болады. -ті қарапайм бөлшектердің қосындысына жіктейміз.

1. Кейбір тригонометриялық функциялардың түрлерін интегралдау.

интегралын қарастырайық. Мына алмастыруларды қолданамыз:

Қарастырылған алмастыру түріндегі кез келген функцияны интегралдауға мүмкіндік береді. Сондықтан оны «Универсалды тригонометриялық ауыстыру» формуласы деп атайды. Бірақ практикада ол өте қиын рационал функцияға келтіреді. Сондықтан кей жағдайда жылдамырақ мақсатқа жеткізетін алмастырудың басқа түрлерін де білген жөн.

1) түріндегі интегралына алмастыруын қолдансақ түріне келтіреді.

2) интегралына алмастыруын қолдансақ, ол интегралды рационал функцияның интегралына алмастырады.

3) Егер интеграл астындағы өрнек түрінде болсын, бірақ Sinx пен Cosx –тің тек қана жұп дәрежелері болса, онда tgx=t алмастыруы қолданылады.

4) Егер интеграл астындағы өрнек tgx –ке ғана тәуелді болса, онда алмастыруы мұндай интегралды рационал функцияның интегралына алмастырады.

5) Интеграл астында түріндегі көбейтінді болып келген интегралын қарастырайық. Мұнда үш жағдайды қарастырамыз:

а) , мұндағы m және n сандарының ең болмағанда біреуі тақ сан болсын. Айқындық үшін n- тақ сан болсын. n=2p+1 алайық және интегралды түрлендірейік. Бұл t-ның рационал функциясының интегралы.

б) , мұндағы m және n теріс емес жұп сандар. m=2p, n=2p –деп алайық және интегралды түрлендірейік.

болады. Дәрежеге шығарып және жақшаны ашсақ, Cos2x-тің тақ және жұп дәрежелері бар мүшелерді аламыз. Тақ дәрежесі көрсеткішті бар мүшелер а) жағдайда көрсетілгендей интегралданады. Жұп дәреже көрсеткіші бар дәрежелерді тағы да дәреже көрсеткіштерін түрлендіреміз. Осылай жалғасып ең аяғында оңай интегралданатын сияқты мүшеге келеміз.

в) Егер екі көрсеткіште жұп болып, ең болмағанда біреуі теріс болса, онда tgx=t, (Ctgx=t) деп айнымалыны ауыстыру керек.

Кейбір иррационал функцияларды тригонометриялық алмастырулардың көмегімен интегралдау.

1. болсын. деп белгілейміз. Сонда . Яғни

2. болсын. деп белгілейміз. Сонда . Яғни

3. 1. болсын. деп белгілейміз. Сонда . Яғни

1. болсын. Бұл жағдайда х-тің кезкелген мәнінде комплекс сан болады.

Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:

1. Интегралын бөлшектеп интегралдау әдісімен табыңдар.

2. Интегралын табыңдар.

3. Интегралын бөлшектеп интегралдау әдісімен табыңдар.

4. Интегралын табыңдар.

5. Интегралын тап.

6. Интегралын тап.

7. Интегралын тап.

8. Интегралын тап.

9. Интегралын тап.

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., «Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы», -1963.

2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.

3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., «Мектеп», 1987.

ДӘРІС 14-15. АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛ. НЬЮТОН - ЛЕЙБНИЦ ФОРМУЛАСЫ. ЕСЕПТЕУ ӘДІСТЕРІ

Дәріс сабақтың құрылымы:

1. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. Анықталған интегралдың қолданылуы

2. Жоғары шегі айнымалы интегралдың туындысы

3. Ньютон-Лейбниц формуласы

4. Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру

5. Анықталған интегралда бөлшектеп интегралдау

6. Декарт координатындағы ауданды есептеу

7. Полярлық координатасымен берілген қисықпен шектелген фигураның ауданын есептеу

8. Дененің көлемін белгілі көлденең қимасы бойынша есептеу

9. Қисықтың доғасының ұзындығы және доғаның дифференциалы

10. Айналу денесінің бетінің ауданы

11. Меншіксіз интегралдар

Дәріс сабақтың мазмұны:

1. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. 1-Анықтама. [a,b] кесіндісінде f функциясы берілсін. [a,b] кесіндісін нүтелерімен бөліктерге бөлейік. Әрбір дербес аралығынан кезкелген нүктесін алайық. Және қосындысын құрайық. Бұл қосынды интегралдық қосыды деп аталады. деп белгілейік.

Егер дағы интегралдық қосынды тің шегі (егер ол бар болса) f функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады. және ол былай белгіленеді.

а сан анықталған интегралдың төменгі шегі, ал в саны жоғары шегі деп аталады.

Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.

1-қасиет. Тұрақты көбейткішті анықталған интегралдың таңбасының алдына шығаруға болады, яғни .

2-қасиет. Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталған интегралы сол қосылғыштардың анықталған интегралдарының қосындысына тең болады, яғни .

3-қасиет. [a,b] кесіндісінде, мұндағы a<b, берілген және функциялары шартын қанағаттандырса, онда болады.

4-қасиет. Егер m және M f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндері болсын, мұндағы , онда болады.

5-қасиет. (Орта мән туралы теорема).

Егер f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үздіксіз болса, онда теңдігі орындалатындай [a,b] кесіндісінде бір нүктесі табылады.

6-қасиет. Кезкелген үш сан а, в, с үшін теңдігі орындалады.