1. Бесконечности

Современное понятие «бесконечность» имеет два аспекта: философский и математический и это понятие надо рассматривать именно с этих двух позиций.

Философское определение: «Бесконечное (бесконечность) ¾ философское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле»[6. Т.1. С. 246].

Математическое определение: «Бесконечность ¾ понятие, возникающее в различных разделах математики в основном как противопоставление понятию конечного»[7, с. 92].

Формулировки этого ключевого понятия философии и математики в обеих науках сильно разнятся. Если философское определение затрагивает все области бытия, то математическое определение не есть определение в строгом смысле этого слова, а является чисто утилитарным математическим понятием.

В Древней Греции бесконечность выражалась словом apeiron, буквальный перевод которого соответствует русскому слову «неограниченный». Слово «бесконечность» выражает собой отрицание всякого ограничения, т. е. имеет отрицательную форму. Чтобы отличить бесконечное от конечного греки дали ясное и непротиворечивое определение: бесконечное не имеет начала, конца или предела, оно неограниченно и беспредельно, в нём нет структуры и порядка. Такое определение понятия называется апофатическим (отрицательным); современная же наука требует, чтобы определение было катафатическим (утвердительным). Но для бесконечного невозможно дать катафатического определения, т. е. выразить его через более общее понятие, поэтому остаётся только один путь ¾ путь через отрицание наличия конечных атрибутов рассматриваемого объекта. По мнению Прокла «апофатические суждения занимают положение, равное катафатическим, хотя и в этом случае катафасис ничуть не более почётен, чем апофасис» [8, с. 126].

1.1. Познаваемость бесконечного пространства

Следуя определению бесконечного, древние греки, особенно софисты и скептики, высказывали соображения, что познание бесконечного невозможно. Скептик Секст Эмпирик в работе «Против грамматиков» так и говорит: «... даже о неподвижной бесконечности, не говоря уже о бесконечности переменчивой, никакое человеческое знание невозможно» [9, т. 2, с. 69]. Пифагор рассматривал бесконечность как сущность, которая не имеет реалий в нашем мире. Реалии появляются только тогда, когда на бесконечность накладываются математические ограничения: точка, линия, плоскость и др.

Средневековые схоласты рассматривали бесконечность в качестве атрибута Бога, и непостижимость Божественной сущности напрямую связывали с непостижимостью бесконечного. «Бесконечное не поддаётся познанию, поскольку не поддаётся счислению: сосчитать части бесконечого ¾ вещь сама по себе невозможная, поскольку содержит внутреннее противоречие»[10, с. 309], ¾ читаем у Фомы Аквинского. Познать нельзя, но помыслить можно считает А. Кентерберийский: «Беспредельно всё то, что в одно и то же время, сразу, всюду и целиком; и это можно помыслить...»[11, c. 136].

Философы более позднего времени, в частности Р. Декарт, также считали непостижимость бесконечного: «Не следует пытаться постичь бесконечное и … надлежит лишь полагать неопределённым всё, чему мы не находим границ»[12, c. 437].

«У нас нет идеи бесконечного пространства и нет положительной идеи бесконечного», ¾ решительно высказывает Дж. Локк, обстоятельно аргументируя невозможность её познания ограниченной способностью нашего пространства мышления[13].

Декларируя несовершенство и ограниченность нашего ума, Ж. Б. Робинэ писал: «Я не представляю себе ничего в бесконечности. Чем больше я думаю о ней, тем больше я убеждаюсь, как безрассудно со стороны ограниченного ума осмеливаться что-нибудь утверждать или отрицать о бесконечности»[14, с. 217]. И далее: «Бесконечность непостижима для нас. Мы также не можем определить её, как и понять её» »[14, с. 219].

Разумный скептик Д. Юм, констатируя шаткость оснований многих наук, отмечал: «Общепризнанно, что способности ума ограничены и никогда не могут достигнуть полного и адекватного представления о бесконечности; даже если бы это и не было общепризнанно, это стало бы достаточно очевидным из самого простого наблюдения и опыта»[15. Т. 1, с. 86].

Вот мнение Френсиса Бэкона о познаваемости бесконечного: «...мысль не в состоянии охватить предел и конец мира, но всегда как бы по необходимости представляет как бы существующим ещё далее. Невозможно так же мыслить, как вечность дошла до сегодняшнего дня. Ибо обычное мнение, различающее бесконечность в прошлом и бесконечность в будущем, никоим образом несостоятельно, так как отсюда следовало бы, что одна бесконечность больше другой и что бесконечность сокращается и склоняется к конечному. Из того же бессилия мысли проистекает ухищрение о постоянно делимых линиях» [16].

Томас Гоббс в «Левиафане...» следующим образом высказывался о познании бесконечного: «Всё, что мы себе представляем, конечно (finite).В соответствии с этим мы не имеем никакой идеи, никакого понятия о какой-либо вещи, называемой нами бесконечной. Человек не может иметь в своём уме образ бесконечной величины, точно так же он не может себе представить бесконечной скорости, бесконечного времени, бесконечной силы или бесконечной власти. Когда мы говорим, что какая-либо вещь бесконечна, то обозначаем лишь, что не способны представить себе конец и пределы названной вещи, так как имеем представление не о самой бесконечной вещи, а лишь о нашей собственной неспособности»[17, т.2, с. 21].

Одним из немногих философов, признающих, что бесконечность можно понять и раскрыть её сущность, был французский философ Д. Л-М. Дешан: «Мы постигаем, что бесконечность существует, и говорим, что не понимаем бесконечного,  это противоречие. Ибо на основании чего полагали бы мы, что оно существует, если бы мы его не понимали? Доказательство того, что мы его понимаем,  это то, что невозможно иметь представление о законченном без этого знания... Оттого, что мы не знаем, что такое бесконечное, мы говорим, что не понимаем его; но из нашего незнания о том, что такое бесконечное, не следует, что мы его не постигаем. Из этого следует лишь, что мы не раскрыли того, что оно представляет» [18, с. 98].

Б. Паскаль очень осторожно относился к этому понятию: «Мы знаем, что есть бесконечность, но природа её нам неведома… Существует бесконечность чисел, но мы не знаем, что это такое…Мы познаём существование бесконечного и не ведаем его природы, поскольку оно обладает протяжённостью, как и мы, но у него нет пределов, как у нас»[19, с. 288-289].

Ф. Энгельс считал, что познание бесконечного окружено разного рода трудностями, и совершаться в виде некого бесконечного асимптотического прогресса. Далее он делает вывод: «бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо»[20, c. 126].

Представленное краткое обозрение о познании и понимании, что такое бесконечность, относится к философии. Но и математики недалеко ушли в этом вопросе.

Великий математик Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность ¾ не более чем façon de parle¹, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают»[1, c. 232]. Подводя итог своей работе «О бесконечном» Д. Гильберт делает следующий вывод: «Наш общий вывод таков: В реализованном виде бесконечное не встречается нигде. Его нет в природе, и оно также недопустимо и в качестве основы нашего разумного мышления, ¾ достойный внимания пример гармонии между бытием и мышлением»[2, с. 448].

Казалось бы, что высказывания большинства философов и математиков не оставляют никакой возможности по построению, исследованию и пониманию

¹ манера выражаться (фр.)

бесконечного. Но это не так. Бесконечность можно понять и построить. Способы построения и познания бесконечного даёт философ А. С. Кармин в работе «Познание бесконечного»[21]. По его мнению, познать бесконечное можно при помощи трёх уровней.

Первый уровень  уровень «эмпирической констатации факта невозможности зафиксировать границы каких-либо конкретных объектов». В этом случае объект имеет качественную характеристику «неограниченность», которая сродни бесконечному.

Второй уровень  уровень перевода качественной характеристики «неограниченность» в количественную характеристику, т. е. в количественную бесконечность.

Третий уровень  метафизический. Он заключается в том, что снимаются всякие абстракции и ограничения, на которых базируются представления о бесконечности.

По моему мнению, первые два уровня относятся к познанию и построению к ограниченной бесконечности и целиком зависят от чувственного восприятия окружающего мира человеком. Так исследование наблюдаемой Вселенной ограничено скоростью прохождения световых сигналов и сигналов радиоволн. Радиус наблюдения с планеты Земля может простираться только до расстояний  10³¹ см. Что находится за этим расстоянием, мы знать не можем. В этом случае, согласно первым двум уровням познания, бесконечность будет равна 10³¹см + 1см, что, по-видимому, не совсем приемлемо. Тогда остаётся только третий уровень, который является единственным верным с любых позиций: философских, математических и физических.