1.2.1.2.Бесконечно малая потенциальная бесконечность

Бесконечно малые величины известны с древнейших времён. Под бесконечно малым подразумевалось, либо некое неделимое, не имеющее частей, но обладающее некой величиной, либо некое неделимое мыслилось как точка, имеющая величину равную нулю[56, 57]. Прежде чем рассматривать бесконечно малую потенциальную бесконечность необходимо кратко рассмотреть понятие нуля.

Если в математике и философии некоторые математики до сих пор раздумывают, является ли бесконечность числом или нет, то понятие нуля ни у кого-либо не вызывает сомнения. Нуль есть число ¾ констатирует любая энциклопедия. «Самая важная цифра есть нуль. Эта была гениальная идея ¾ сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.» ¾ пишет Ван дер Варден[58, c. 77]. «Самое важное число в математике есть нуль… Нуль является единственным числом, обладающей хартией ¾ одной из королевских привилегий. В то время как любое другое число может быть подвергнуто любой из элементарных операций, запрещено делить на нуль, ¾ точно так же, как, например, во многих парламентах может обсуждаться любой предмет, за исключением персоны суверена», ¾ вторит ему Е. Шрёдингер[59, с. 19]. На самом же деле нуль впервые был введён вавилонскими математиками приблизительно после 500г. до н. э. Никамах ставит правило: нуль сложенный с нулём, даёт нуль. Нуль в человеческом понимании это отсутствие чего-либо, отрицание или отсутствие всякого количества и является чистой условностью. Если нет денег, мы говорим: в кармане нуль. Но нуль ещё не число. Нуль есть цифра, указывающая в каком-либо исчислении отсутствие единиц данного разряда. Нуль не отвечает на вопрос: сколько? Он только выражает отрицание и не указывает, сколько единиц в числе. Нуль как число « …символизирует бесконечность, Бесконечное безграничное Бытие, fons et origo² всех вещей, Брахманду или космическое яйцо, солнечную систему в её совокупности; или же универсальность, космополитизм, преодоление расстояний и препятствий, странствия. Но также и отрицание, объём, ограничение, отсутствие»[60, с. 6]. Средневековые схоласты оставили после себя возражения против признания нуля числом:

• не существует такого числа, от прибавления которого к А получалось бы А, но таков нуль, поэтому нуль не число;

• в области качества нуль ведёт к признанию некоторой величины, непосредственно стоящей за нулём, так как возрастание с нуля даёт противоречие: нуль является отрицанием качества и его началом[61, с. 293].

По мере развития математики нуль постепенно превращается в число, причём в число, имеющее довольно странные свойства: сложение и вычитание с нулём оставляют сумму без изменения; умножение числа на нуль даёт результат равный нуль; при делении любого числа на нуль получаем бесконечность; при делении нуля на нуль получаем абракадабру.

² - исток и начало (лат).

Несмотря на то, что нуль есть отрицание всякого определенного количества, он имеет весьма определенное содержание в математике и физике конечномерных пространств, а именно:

- отсутствие каких-либо числовых размерных физических объектов в рассматриваемом относительном пространстве (пустое множество);

- начало системы отсчета (например, граница между всеми положительными и отрицательными величинами; граница между жидким и твёрдым состоянием воды);

- тождественность чисел и размерных физических объектов самим себе: А º А, откуда А – А = 0;

- как предел бесконечной прогрессии или неисчислимое в числе: ¥ ^—1 = 0.

Следуя Р. Курант и Г. Роббинсу, которые считают понятие «бесконечность» не числом, нуль, как противоположность бесконечному, также не является числом, а только символ, цифра, обозначающая отсутствие чего-либо. Он становится числом только в совместной цифровой записи с другими цифрами: 10; 0,1 и др. Нуль как предел бесконечной прогрессии, как и бесконечность, является финитным и относится к понятию потенциальной бесконечности малых чисел:

_f¥_f^—1 = _f0_f (1.2)

Потенциальная бесконечность бесконечно малых чисел начинается с конечной величины и состоит только из одних конечных величин. Бесконечная последовательность малых натуральных чисел бесконечна, так как за числом n^n следует число n^{n 1}. Типичным примером бесконечности малых чисел является число 10^-40, которое является также потенциальной обратной бесконечностью по отношению к 1.

В настоящее время бесконечно малые широко используются в дифференциальном и интегральном исчислении, хотя их появление в математике вызвало большую дискуссию. Проблемы дифференциального исчисления были связаны с нерешённым до сих пор вопросом, что понимать под бесконечно малым: некую очень малую протяжённость или точку, не имеющую протяжённости[62-65].

Предел числовой последовательности (lim a_n = a) означает, что некая величина a,

n ® ¥

стремясь к определённому пределу, настолько приближается к этой предельной точке, что, по нашим представлениям, совпадает с ней. На этом принципе построены математические модели дифференциального и интегрального исчисления, заложенные И. Ньютоном и Г. В Лейбницем. На самом же деле lim a_n ¹ a и между lim a_n и a лежит онтологическая пропасть. Для удобства расчётов мы можем принять равенство lim a_n = a, но любой вывод математики, основанный на этом принципе об устройстве онтологического бытия, будет глубоко ошибочен.

Помимо математического понятия бесконечно малая потенциальная бесконечность в философском смысле есть граница бытия и инобытия или внешнего и внутреннего бытия. Согласно А. Ф. Лосеву: «Бесконечность... есть нуль. Нуль есть внешняя сторона бесконечности, а бесконечность  внутреннее его выявление»[62, с. 509].

Суммируя результаты по потенциальной бесконечности, делаем вывод, что существуют два вида потенциальной бесконечности чисел:

- бесконечно большая или внешняя бесконечность ¾ _f¥_f,

- бесконечно малая или внутренняя бесконечность ¾ _f0_f